Ich lerne gerade für eine Prüfung in Quantenmechanik und bin auf eine Lösung für ein Problem gestoßen, mit dem ich Probleme habe, es zu verstehen.
Das Problem:
Ein Teilchen sitzt in einem unendlichen Potentialtopf, der durch beschrieben wird
Wir wissen, dass die Energien durch gegeben sind Und .
Zum Zeitpunkt Der Potentialtopf wird plötzlich doppelt so groß, so dass das Potential jetzt ist
Die Energien sind also nun gegeben durch Und .
Das ist mir absolut klar. Als Ergebnis finden wir eine nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit. Aber jetzt wird es knifflig:
Die Lösung legt nahe, dass sich der Erwartungswert der Energie nicht mit der Zeit entwickelt, was mir klar ist, da der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und somit die Energie erhalten bleibt. Aber es deutet auch darauf hin, dass sich der Erwartungswert nicht ändert, nachdem wir die Breite der Potentialwand verdoppelt haben, was ich aus dem Argument der Energieerhaltung verstehe, aber nicht aus quantenmechanischer Sicht. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zustand befindet nicht verschwindet, könnte das Teilchen die Energie haben was niedriger ist als und dies würde bedeuten, dass sich der Erwartungswert der Energie (mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit) ändern könnte.
Was übersehe ich hier, wo ist mein Fehler? Jede Hilfe ist willkommen!
Der Erwartungswert der Energie bleibt nach der Verdoppelung der Größe gleich, aber das bedeutet nicht, dass das Spektrum gleich ist. Für eine normalisierte , der Erwartungswert der Energie ist einfach
Sie haben Recht, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass sich das Teilchen in der größeren Vertiefung auf einem niedrigeren Energiewert als dem anfänglichen Energieeigenwert befindet. Es besteht jedoch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass auch die Energie erhöht wird – das Wellenpaket wird unnötigerweise in einen kleinen Teil des Brunnens gequetscht, was mehr kinetische Energie als die minimal mögliche hinzufügt. Diese positiven und negativen Änderungen heben sich im Erwartungswert der Energie auf: Die obige Berechnung zeigte, dass er konstant blieb.
Der Erwartungswert der Energie bleibt auch konstant, wenn sich das Teilchen nach dem Larger-Well-Hamiltonoperator entwickelt.
Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Energieeigenwert sind für alle konstant und dann für aber es gibt eine Diskontinuität bei . Allerdings, wie die obige einfache Rechnung zeigt, liegt im Erwartungswert die Energie selbst, die Änderung des Spektrums etc. an bricht ab, wenn es um den Erwartungswert der Energie geht.
Bei plötzlicher Störung ändert sich der Zustand nicht, wohl aber die Basis. Dieser Zustand wird in der neuen Basis erweitert, deren Koeffizienten sich entsprechend entwickeln. Normalerweise wird es in Kapiteln mit der zeitabhängigen Störungstheorie behandelt .
Wenn das Potential zeitabhängig ist, ist die Energie im allgemeinen Fall nicht erhalten. In Ihrem Fall wird die Energie von bestimmten unsicher.
Benutzer20486
Benutzer44816
Lubos Motl