WKB Näherung an ein lineares + harmonisches Potential

Die untere Grenze sollte negativ sein:

$$\int_{\color{red}-\sqrt{2E/k}}^0 \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2}kx^2\right)} dx + \int _0^{E/mg} \sqrt{2m(E-mgx)} dx =\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar$$ aber die Antwort ist ja : das ist der richtige Ausdruck. Der allgemeine Ausdruck für die WKB-Näherung ist $$\int_{x^1}^{x^2}\sqrt{2m(E-V(x))} dx=\left(n-\frac{1}{2}\right) \pi \hbar\tag{WKB}$$ und in Ihrem Fall haben Sie ein stückweise definiertes Potenzial, aber das macht es nicht $V(x)$speziell. Wenn du hättest $V(x)= \mathrm e^{-|x|}\sin (x)$Sie würden (WKB) ohne zu zögern verwenden. Aber je nachdem wie man das definiert $\sin$Funktion, diese $V(x)$wäre auch eine stückweise definierte Funktion!. Mein Punkt ist, dass sich stückweise definierte Funktionen nicht unbedingt von "Standard" -Funktionen, beispielsweise Polynomen, unterscheiden.

Fürs Protokoll, wenn du nimmst$m=\hbar=k=g=1$, die exakten Eigenwerte$^1$Sind

$$E_n=0.63202,\ 1.6935,\ 2.5459,\ 3.3407,\ 4.0698,\ 4.7604,\ 5.4229, \ 6.0551,\ 6.6657,\ 7.2596,\cdots$$ während die WKB-Näherungen sind $$E_n=0.6705,\ 1.6860,\ 2.5524,\ 3.3386,\ 4.0706,\ 4.7623,\ 5.4221, \ 6.0557,\ 6.6672,\ 7.2597,\cdots$$

Wie Sie sehen können, erweist sich die Annäherung als überraschend gut!

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$^1$numerisch erhalten mit Mathematica .