Warum kann ich die Energien in diesem WKB-Näherungsbeispiel nicht addieren, um die zulässigen Energien für das gegebene Potential zu erhalten?

Question

Warum kann ich die Energien in diesem WKB-Näherungsbeispiel nicht addieren, um die zulässigen Energien für das gegebene Potential zu erhalten?

Loltolöffel

Verwenden Sie die WKB-Näherung, um die zulässigen Energien ( $E_n$ ) eines unendlichen quadratischen Brunnens mit einem "Regal" der Höhe $V_0$ erstreckt sich über die Hälfte:

$v (X) = {\begin{cases} v_{0} & , Wenn 0 < X < A / 2 \\ 0 & , Wenn A / 2 < X < A \\ \infty & , ansonsten \end{cases}$ $V(x)=\begin{cases} V_0 &, \text{ if} \quad 0<x<a/2 \\ 0 &, \text{ if} \quad a/2<x<a \\ \infty &, \text{ otherwise} \end{cases}$

Folgendes habe ich getan:

Für die Region $0<x<a/2$ :

ϕ (X) = \frac{1}{ℏ} \int_{0}^{A / 2} P (X) D X = N π

$\phi (x)=\frac{1}{\hbar}\int_0^{a/2}p(x)dx=n\pi$

\frac{A P}{2} = N π ℏ

$\frac{ap}{2}=n\pi \hbar$

$p=\sqrt{2m(E-V_0)}$ , also auflösen nach $E$ Erträge:

E = \frac{2 N^{2} π^{2} ℏ^{2}}{M A^{2}} + v_{0}

$E=\frac{2n^2\pi ^2 \hbar ^2}{ma^2}+V_0$

Für die Region $a/2<x<a$ :

E = \frac{2 N^{2} π^{2} ℏ^{2}}{M A^{2}}

$E=\frac{2n^2\pi ^2 \hbar ^2}{ma^2}$

Dann sagte ich, dass wir nicht zwei verschiedene zulässige Energien haben können, die das gesamte Potenzial definieren, also fasste ich sie zusammen.

E_{N} = \frac{4 N^{2} π^{2} ℏ^{2}}{M A^{2}} + v_{0}

$E_n = \frac{4n^2\pi ^2 \hbar ^2}{ma^2} + V_0$

= 8 E_{N}^{0} + v_{0}

$=8E_n^0 + V_0$

Wo $E_n^0 = \frac{n^2\pi ^2 \hbar ^2}{2ma^2}$

... aber die gegebene Antwort ist

E_{N} = E_{N}^{0} + \frac{v_{0}}{2} + \frac{v_{0}^{2}}{16 E_{N}^{0}}

$E_n = E_n^0 + \frac{V_0}{2} + \frac{V_0^2}{16E_n^0}$

Warum ist es nicht richtig, die Energien einfach hinzuzufügen, wie ich es getan habe?

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Warum kann ich die Energien in diesem WKB-Näherungsbeispiel nicht addieren, um die zulässigen Energien für das gegebene Potential zu erhalten?

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

OP stellt sich das Potential anscheinend als zwei unendliche Vertiefungen halber Breite vor und addiert die beiden Energiespektren. OP erhält auf diese Weise höhere Energieniveaus als die Energieniveaus für die zwei einzelnen Wells mit halber Breite. Diese Methode und dieses Ergebnis sind falsch. Tatsächlich senkt der zusätzliche Raum in Wirklichkeit das Energieniveau.
Der wichtige Begriff ist die Länge
$\begin{matrix} (A) & ℓ (v) = \frac{A}{2} θ (v) + \frac{A}{2} θ (v - v_{0}) \end{matrix}$ $\ell(V) ~=~ \frac{a}{2}\theta(V)+ \frac{a}{2}\theta(V-V_0)\tag{A}$ des klassisch zugänglichen Positionsbereichs.
Wie in meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt , die Nummer $n$ von gebundenen Zuständen unterhalb des Energieniveaus $E$ (in der WKB-Näherung) ist

\begin{matrix} (B) & N \approx \frac{\sqrt{2 M}}{H} \int_{Mindest (0, v_{0})}^{E} \frac{ℓ (v) D v}{\sqrt{E - v}} \overset{(A)}{=} \frac{\sqrt{2 M}}{H} A (\sqrt{E} + \sqrt{E - v_{0}}) . \end{matrix}

$n~\approx~ \frac{\sqrt{2m}}{h}\int_{\min(0,V_0)}^E \frac{\ell(V)~dV}{\sqrt{E-V}} ~\stackrel{(A)}{=}~\frac{\sqrt{2m}}{h}a \left(\sqrt{E}+ \sqrt{E-V_0}\right).\tag{B}$

Aus Gl. (B) wir folgern das
$\begin{matrix} (C) & 2 \sqrt{E_{0}} \overset{(B)}{=} \sqrt{E} + \sqrt{E - v_{0}}, \end{matrix}$ $2\sqrt{E_0}~\stackrel{(B)}{=}~\sqrt{E}+ \sqrt{E-V_0},\tag{C}$ Wo $E_0$ bezeichnet die Energieniveaus für das System ohne Regal $V_0=0$ . (Wir haben hier den Index unterdrückt $n$ aus der Notation.)
Gl. umstellen (C) zur Ableitung der gesuchten Formel:
$\begin{matrix} (D) & E \overset{(C)}{=} {(\sqrt{E_{0}} + \frac{v_{0}}{4 \sqrt{E_{0}}})}^{2} = E_{0} + \frac{v_{0}}{2} + \frac{v_{0}^{2}}{16 E_{0}} . \end{matrix}$ $E~\stackrel{(C)}{=}~\left(\sqrt{E_0}+\frac{V_0}{4\sqrt{E_0}}\right)^2~=~E_0+ \frac{V_0}{2}+\frac{V_0^2}{16E_0}.\tag{D}$

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Loltolöffel

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QMechaniker

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