Welche Energie hat ein Gaußsches Wellenpaket?

Angenommen, wir haben eine potenzielle Barrierensituation v ( X ) ist überall null, außer im Intervall [ − A , A ] , wo es gleich einigen ist v 0 > 0 . Führen Sie ein gaußförmiges Wellenpaket links von der Barriere ein und bewegen Sie sich nach rechts.

Welche Energie hat das Paket (dh das durch diese Wellenfunktion beschriebene System) zu jedem Zeitpunkt?

Nun, die Wellenfunktion ψ ( X , T ) ist kein Energie-Eigenzustand, also stellt sich die Frage nach dem erwarteten Wert der Energie, nehme ich an. Bedeutet das nur, die Berechnung durchzuführen

⟨ E ( T ) ⟩ = ∫ − ∞ ∞ D X   ⟨ ψ T | X ⟩ ⟨ X | H ψ T ⟩ ?

Es scheint richtig zu sein.
Beachten Sie, dass E ( T ) ist konstant. Die Wellenfunktion ist nur eine Gaußsche at T = 0 , danach ist die Form nicht mehr so ​​einfach zu berechnen.
Der Erwartungswert der kinetischen Energie sollte einfach und intuitiv sein. Der Erwartungswert von v ( X ) ist schwieriger und lässt sich durch die Fehlerfunktion ausdrücken.
So wie ich mir das vorgestellt habe, ist es immer noch mehr oder weniger eine Gaußsche, bis sie mit der Barriere kollidiert, dann passiert für eine Weile etwas Seltsames, und dann bewegen sich ihre beiden Fast-Gaußschen in die entgegengesetzte Richtung.
Ja das ist korrekt. Soweit ich weiß, sind sie jedoch keine perfekten Gaußschen.

Antworten (1)

Wie Nemis L. betonte, der Erwartungswert ⟨ H ⟩ ist wegen des Satzes von Ehrenfest konstant:

D D T ⟨ H ⟩ = 1 ich ℏ ⟨ [ H , H ] ⟩ = 0.
Die andere Sichtweise ist, dass der Zustand als Überlagerung von orthogonalen Energieeigenzuständen geschrieben werden kann.

Pflichtbild:Streuung eines Wellenpakets an einer quadratischen Potentialbarriere

Goldberg, Schey und Schwartz, Computer Generated Motion Pictures of One Dimensional Quantum Mechanical Transmission and Reflection Phenomena ", Am. J. Phys., 35, 177 (1967).)

Aber jeder Zustand kann als Überlagerung der orthogonalen Energie-Eigenzustände (mittels Fourier-Transformation) geschrieben werden, richtig?
Ja. Es ist nur eine Reflexion der Energieerhaltung, nicht etwas, das den Gaußschen Zuständen eigen ist.
Ich frage mich, wie könnte hier Energiedissipation eingeführt werden? Ist es dasselbe wie Dispersion , das Wort, das ich ständig in Bezug auf Dispersion höre ?
Dispersion bezieht sich auf unterschiedliche Impulse, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten, sodass sich das Wellenpaket ausbreitet. Um die Energiedissipation zu modellieren, müssten Sie die Potentialbarriere so modellieren, dass sie eine eigene Dynamik hat, die Energie absorbieren kann. Ein Beispiel ist das Caldeira-Leggett-Modell .
Vielen Dank! Ich habe mich immer gefragt, wie die Energieerhaltung mathematisch gebrochen wird!
Aber wenn ich zwei Detektoren auf beiden Seiten platziere, beobachtet nur einer das Elektron und nach der Streuung ist die Energie auf jeder Seite kleiner als der Anfangswert. Die Situation ist schlimmer, wenn man Strahlung ausschließt, indem man eine Barriere wie einen Spiegel betrachtet, bei dem die Amplitude des Wellenpakets halbiert wird. Ist das nicht ein Verstoß gegen den Energieerhaltungssatz?! Da es keine Absorption und Abstrahlung von EM-Wellen gibt, um den Energieverlust bei Streuung von einem Spiegel zu kompensieren.
Sie können die Barriere völlig ignorieren und einfach über das Teilchen sprechen, nachdem es von einem einzelnen Detektor erkannt wurde. Da das Teilchen nicht in einem Energie-Eigenzustand gestartet ist, scheint es in einen Zustand mit einer anderen Energie zu "kollabieren". Aber das Versagen der Energieerhaltung ist illusorisch. Solche Nicht-Energie-Eigenzustände treten normalerweise auf, wenn wir andere Freiheitsgrade ignorieren und fragen: "Wie sieht die Wellenfunktion aus, wenn ich in diesen oder jenen Unterraum von Zuständen projiziere?" ZB wurde mein Energie-Eigenzustandsteilchen von einem Detektor entdeckt und jetzt konzentriere ich mich auf seinen neuen Positions-Eigenzustand.
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