Frage zur Lösung der Schrödinger-Gleichung für endlichen Potentialtopf und Quantenbarriere

Beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für endlichen Potentialtopf ist die Lösung außerhalb des Topfes

ψ 1 = F e − a X + G e a X
Und
ψ 3 = H e − a X + ICH e a X .
Beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für die Quantenbarriere sind jedoch die Lösungen der Regionen
ψ L ( X ) = A R e ich k 0 X + A l e − ich k 0 X X < 0 ψ C ( X ) = B R e ich k 1 X + B l e − ich k 1 X 0 < X < A ψ R ( X ) = C R e ich k 2 X + C l e − ich k 2 X X > A .

Die Lösungen für die Quantenbarriere haben das Imaginäre ich auf dem Exponenten von e Zum Beispiel A l e − ich k 0 X . Aber die Lösung für den endlichen Potentialtopf hat nicht das Imaginäre ich auf dem Exponenten e Zum Beispiel F e − a X .

Warum gibt es also eine imaginäre ich für das Quantenbarrierenproblem, während es kein Imaginäres gibt ich für potentielles Brunnenproblem, wenn sowohl die Lösung des Problems durch Lösen der Schrödinger-Gleichung in Form von abgeleitet wird ( [ D 2 D X 2 ψ ( X ) ] = B ψ ( X ) ) ?

Ich habe eine Anschlussfrage: Warum hat die Region Potenzial? v = 0 im endlichen Potentialtopf haben eine Wellenfunktion der Form

ψ 2 = A Sünde ⁡ k X + B cos ⁡ k X
Aber für die Quantenbarriere die Bereiche mit Potential v = 0 haben eine Wellenfunktion von
ψ L ( X ) = A R e ich k 0 X + A l e − ich k 0 X X < 0
Warum liefert die Schrödinger-Gleichung also unterschiedliche Ergebnisse für den Bereich von v = 0 ?

Beachten Sie, dass der Koeffizient in jedem Fall imaginär sein kann und man dies beispielsweise festlegen könnte a = ich k 1 und dann schreiben ψ C ( X ) = B R e a X + B l e − a X .
Der Ansatz ist ψ ( X ) = A   e a X für den allgemeinen (von Null verschiedenen) Komplex A und a . Die genaue Form von a und A werden aus "Randbedingungen" bestimmt.
Denken Sie nur an die Euler-Formel

Antworten (1)

Es handelt sich um zwei verschiedene Situationen der TISE 1 :

  1. Ein gebundener Zustand hat E < 0 und die Wellenfunktion

    (1) ψ ( X )   =   A e − κ | X | , κ   :=   − 2 M E ℏ   >   0 ,
    nimmt in den asymptotischen Bereichen exponentiell ab | X | → ∞ . Eine exponentiell abfallende Wellenfunktion ist das Markenzeichen der negativen kinetischen Energie, dh des Quantentunnelns in klassisch verbotene Bereiche.

  2. Ein streuender Zustand hat E > 0 und die Wellenfunktion

    (2) ψ ( X )   =   A + e ich k X + A − e − ich k X , k   :=   2 M E ℏ   >   0 ,
    verhält sich in den asymptotischen Bereichen oszillierend | X | → ∞ . Eine oszillierende Wellenfunktion ist das Kennzeichen positiver kinetischer Energie, dh klassisch erlaubter Bereiche.

Oder alternativ: Beachte das bei der Energie E ändert das Vorzeichen von negativ nach positiv, dann die Quadratwurzel κ in Gl. (1) wird imaginär und kann damit identifiziert werden ± ich k aus Gl. (2), vgl. Kommentare von Alfred Centauri & DanielC.

(Übrigens gibt es noch eine weitere enge Beziehung zwischen gebundenen Zuständen & streuenden Zuständen: Wenn wir das Reale analytisch fortsetzen k in die komplexe Ebene C , dann haben die streuenden Reflexions- und Transmissionskoeffizienten Pole an Positionen k = ich κ entlang der imaginären Achse im Komplex k - Flugzeug wann immer κ > 0 entspricht einem der diskreten Bindungszustände, vgl. zB Art.-Nr. 1.)

Verweise:

  1. PG Drazin & RS Johnson, Solitons: An Introduction, 2. Auflage, 1989; Abschnitt 3.3.

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1 Kurz vor der Schwerkraft die Potentialfunktion v ( X ) ist nur bis auf eine Konstante physikalisch relevant. Stellen wir hier der Einfachheit halber die Konstante ein, damit das Potential v ( X ) in den asymptotischen Bereichen verschwindet, also annehmen v ( X ) → 0 für | X | → ∞ .

Danke, aber ich habe weitere Fragen dazu, warum die unterschiedlichen Ergebnisse der Schrödinger-Gleichung für den Bereich V = 0 für endliche Potentialmulde und Potentialbarriere führen. Wenn Sie davon wissen, denken Sie bitte darüber nach, zu antworten, es wäre sehr nützlich. Vielen Dank. ;)
Ich habe die Antwort aktualisiert.
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