Warum sind Streumatrizen unitär?

$S^{-1}=S^*$ist nur die Bedingung für Einheitlichkeit. Es wird normalerweise geschrieben als$S^*S=1$(zusammen mit Invertierbarkeit) und bedeutet das$\psi^*\psi$ändert sich nicht wann$\psi$wird ersetzt durch$S\psi$:

$(S\psi)^*(S\psi)=\psi^*S^*S\psi=\psi^*\psi$

Daher bleibt die Wahrscheinlichkeit erhalten, ein Muss für eine gute Streumatrix.

Im Allgemeinen ist die Einheitlichkeit der S-Matrix eine Folge der Tatsache, dass die S-Matrix formal als eine Grenze von Produkten einheitlicher Matrizen definiert ist, die selbst einheitlich sind, obwohl die Analyse der Grenze einige Sorgfalt erfordert.

Eigentlich ist mir aufgefallen, dass ich den Punkt Ihrer Frage möglicherweise verfehlt habe, als Sie gefragt haben, was der Adjonnt in Ihrer Berechnung tut. Das Delta eines selbstadjungierten Operators ist selbstadjungiert, meinst du das? Ansonsten präzisieren Sie bitte Ihre Frage!

Meistens ist die$S$-Matrix ist definiert als ein Operator zwischen asymptotischen Anfangs- und End-Hilbert-Räumen für einen zeitabhängigen Streuprozess, dh zwischen$t\to-\infty$Und$t\to\infty$. Dort codiert die Einheitlichkeit die Erhaltung von Wahrscheinlichkeiten über die Zeit. Andererseits ist das Buch, das OP erwähnt, Ref. 1, spricht von einem zeitunabhängigen Streuprozess. Eine Diskussion des Zusammenhangs zwischen zeitabhängiger und zeitunabhängiger Streuung finden Sie in dieser Phys.SE-Frage.

In dieser Antwort betrachten wir nur zeitunabhängige Streuung. Ref. 1 definiert für ein 1D-System (unterteilt in drei Bereiche$I$,$II$, Und$III$, mit einem lokalisierten Potenzial$V(x)$im mittleren Bereich$II$), A$2\times 2$Streumatrix$S(k)$als Matrix, die angibt, wie zwei asymptotisch ankommende (links- und rechtslaufende) Wellen (der Wellennummer$\mp k$mit$k>0$) beziehen sich auf zwei asymptotisch ausgehende (links- und rechtslaufende) Wellen. In Formeln,

$$\begin{align}\left. \psi(x) \right|_{I}~=~& \underbrace{A(k)e^{ikx}}_{\text{incoming right-mover}} + \underbrace{B(k)e^{-ikx}}_{\text{outgoing left-mover}}, \tag{1} \cr \left. \psi(x)\right|_{III}~=~& \underbrace{F(k)e^{ikx}}_{\text{outgoing right-mover}} + \underbrace{G(k)e^{-ikx}}_{\text{incoming left-mover}}, \tag{2}\cr k~>~&0,\end{align}$$

$$\begin{pmatrix} B(k) \\ F(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{3}$$

Um zu zeigen, dass eine endlichdimensionale Matrix$S(k)$einheitlich ist , reicht es aus, das zu zeigen$S(k)$ist eine Isometrie ,

$$\begin{align} S(k)^{\dagger}S(k)~\stackrel{?}{=}~&{\bf 1}_{2\times 2} \cr\quad\Updownarrow~&\quad\cr |A(k)|^2+ |G(k)|^2~\stackrel{?}{=}~&|B(k)|^2+ |F(k)|^2,\end{align}\tag{4}$$

oder gleichwertig,

$$|A(k)|^2-|B(k)|^2 ~\stackrel{?}{=}~|F(k)|^2-|G(k)|^2.\tag{5}$$

Gleichung (5) kann durch die folgenden Kommentare und Begründungen gerechtfertigt werden.

1. $\psi(x)$ist eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ( TISE )

   $$\begin{align} \hat{H} \psi(x) ~=~& E \psi(x), \cr \hat{H}~:=~&\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\cr \hat{p}~:=~&\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\end{align}\tag{6}$$ für positive Energie$E>0$.

2. Der Lösungsraum für die Schrödinger-Gl.$(6)$, die eine lineare ODE zweiter Ordnung ist, ist ein zweidimensionaler Vektorraum.

3. Aus Gl.$(6)$dass die Wellenzahlen$\pm k$,

   $$k ~:=~\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} ~\geq~ 0,\tag{7}$$ muss in beiden asymptotischen Bereichen gleich sein$I$Und$III$. Dies impliziert, dass die$M$-Matrix (unten zu definieren) und die$S$-Matrix sind diagonal in$k$-Raum.

4. Außerdem folgt daraus, dass es eine bijektive lineare Abbildung gibt

   $$\begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix} ~\mapsto~ \begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}.\tag{8}$$ In Ref.-Nr. 2, die Transfermatrix $M(k)$ist als entsprechende Matrix definiert $$\begin{pmatrix} F(k) \\ G(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} A(k) \\ B(k) \end{pmatrix}.\tag9$$ Der$S$-Matrix$(3)$ist eine Umformung von Gl.$(9)$.

5. Man kann die Schrödinger-Gl.$(6)$(und die Realität von$E$Und$V(x)$), um zu zeigen, dass die Wronskian

   $$W(\psi,\psi^{\ast})(x)~=~\psi(x)\psi^{\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast},\tag{10}$$ oder äquivalent der Wahrscheinlichkeitsstrom $$J(x)~=~\frac{i\hbar}{2m} W(\psi,\psi^{\ast})(x),\tag{11}$$ hängt nicht von der Position ab$x$, $$\begin{align} \frac{\mathrm dW(\psi,\psi^*)(x)}{\mathrm dx} ~=~&\psi(x)\psi^{\prime\prime}(x)^{\ast}-\psi^{\prime\prime}(x)\psi(x)^{\ast}\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&0.\end{align}\tag{12}$$ Unitarität (5) ist äquivalent zur Aussage that $$\left. W(\psi,\psi^*)\right|_{I}~=~\left. W(\psi,\psi^*) \right|_{III}.\tag{13}$$ Ref. 3 erwähnt, dass Gl.$(12)$codiert die Energieerhaltung in der Streuung.

---

Verweise:

1. DJ Griffiths, Einführung in die Quantenmechanik; Abschnitt 2.7 in 1. Auflage von 1994 und Problem 2.52 in 2. Auflage von 1999.

2. DJ Griffiths, Einführung in die Quantenmechanik; Problem 2.49 in 1. Auflage von 1994 und Problem 2.53 in 2. Auflage von 1999.

3. PG Drazin & RS Johnson, Solitons: An Introduction, 2. Auflage, 1989; Abschnitt 3.2.