Streumatrixelemente für Potential q(x)q(x)q(x)

Angenommen, ich habe SE mit Potenzial Q ( X ) , die bekannt ist, wie berechne ich die Streuung oder S-Matrix in Bezug auf dieses Potential?

Ich habe versucht, nach nicht trivialen Beispielen (dh konstanten potenziellen Stufen/Barrieren/Brunnen usw.) zu suchen, aber nirgendwo finde ich eine konkrete Abfolge von Schritten, um eine Berechnung der Matrixelemente von S durchzuführen.

Um genau zu sein: Angenommen, ich habe Folgendes:

− ψ ″ ( X ) + Q ( X ) ψ ( X ) = E ψ ( X )

mit festem Potential Q ( X ) , und nehmen Sie außerdem an, dass alle Lösungen der obigen SE bekannt sind. Mit dem üblichen Setup:

ψ L ( X ) = A ( k ) e ich k X + B ( k ) e − ich k X
ψ R ( X ) = C ( k ) e ich k X + D ( k ) e − ich k X

In der Literatur heißt es, dass die S Matrix bezieht sich auf die B , C Koeffizienten zu A , D Koeffizienten und gibt "alle Informationen über die Streuung".

Was ich wissen möchte, ist, wie diese Koeffizienten, A , B , C , D und das S Matrix hängen vom Potential und den Lösungen der oben gegebenen SE ab. Das heißt, was muss ich berechnen?

Es gibt keine geschlossene Lösung. Sie müssen die Shroedinger-Gleichung lösen, und es gibt keine allgemeine Lösung für eine ODE 2. Ordnung.
Angenommen, ich kenne alle Lösungen, wie ich sagte.
Wenn Sie die Lösungen kennen, dann wissen Sie, dass eine Lösung das ist ψ k ( X ) das ist von der form T ( k ) e ich k X rechts neben dem Potential aussieht e ich k X + R ( k ) e − ich k X wenn auf der linken Seite ausgewertet. Hier der Transmissionskoeffizient T ( k ) und Reflexionskoeffizient R ( k ) sind Funktionen, die Sie beim Lösen der Gleichung gefunden haben. Vielleicht, aber Sie möchten stattdessen die S-Matrix in Bezug auf Ein- und Ausgangszustände? In diesem Fall hilft es, wenn Q ( X ) ist links-rechts-symmetrisch, so dass eine ungerade oder gerade ankommende Welle nur phasenverschoben ist. Ich füge eine "Antwort mit diesen Informationen hinzu.

Antworten (1)

Sobald Sie wissen A ( k ) B ( k ) C ( k ) Und D ( k ) dann wandelt die S-Matrix die eingehenden Wellen um --- A von links u D von rechts --- zu den ougoing Wellen B nach links u C nach rechts als

( B C ) = ( S 11 S 12 S 21 S 22 ) ( A D ) .
Um also die erste Spalte zu finden, haben Sie die Randbedingung gewählt A = 1 , D = 0 und ablesen S 11 , S 21 von Ihrer Lösung. Ebenso die zweite Spalte.

Ich habe nicht verstanden, wie sich die Wahl des Potentials und damit der Lösungen auf die Struktur der Streumatrix auswirkt. Dank Ihrer Antwort wurde mir jedoch klar, dass ich, wenn ich das Potenzial kenne und weiß, wie Lösungen rechts und links aussehen, Gleichungen für die Beziehungen zwischen A, B, C, D und daher die S-Matrix erhalten: wie gesagt, leicht aufgebaut. Danke.
Streumatrixelemente für Potential q(x)q(x)q(x)
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