Endlicher Übertragungskoeffizient der doppelten Potentialbarriere

Question

Endlicher Übertragungskoeffizient der doppelten Potentialbarriere

fintallrik

TL;DR : Ich möchte den Transmissionskoeffizienten eines Teilchens berechnen, das in ein endliches Doppelpotentialbarrierensystem wandert, und ich glaube, ich bin an der Tatsache hängen geblieben, dass ich 9 unbekannte Variablen (Amplituden) und nur 8 Gleichungen habe. Wie schaffe ich es, das zu lösen?

Problem

Ich habe ein Teilchen (ein Elektron) mit Energie $E$ Einfahren von links in einen Bereich mit zwei potentiellen Barrieren. Das Potenzial wird definiert durch

v (X) = v_{1} \cdot [Θ (X) - Θ (X - A_{1})] + v_{2} \cdot [Θ (X - (A_{1} + L) - Θ (X - (A_{1} + A_{2} + L]

$V(x) = V_1\cdot[\Theta(x)- \Theta(x-a_1)] + V_2\cdot[\Theta(x-(a_1 + L) - \Theta(x-(a_1 + a_2 + L]$ Wo

Θ (x)

$\Theta(x)$ ist die Heaviside-Schrittfunktion,

a_{1}

$a_1$ wo die erste Barriere aufhört (also ihre Länge),

L

$L$ ist die Breite der Trennung zwischen den beiden Barrieren und

a_{2}

$a_2$ ist die Breite der zweiten Barriere.

Die bekannten Größen sind:

$V_1, V_2, E$
$a_1, a_2, L$
Die Teilchenmasse $m$ ist nicht gegeben durch Ich nehme an, es kann gesagt werden, dass es die Ruhemasse des Elektrons ist.

Das Ziel ist die Berechnung des Transmissionskoeffizienten $T$ .

Meine Arbeit

Ich habe die Gleichungen für die verschiedenen Abschnitte gelöst und die folgenden Lösungen für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erhalten

Ψ_{1} = A e^{ich κ X} + B e^{- ich κ X} Ψ_{2} = C e^{ich λ X} + D e^{ich λ X} Ψ_{3} = F e^{ich κ X} + G e^{- ich κ X} Ψ_{4} = H e^{μ X} + ICH e^{- μ X} Ψ_{5} = J e^{ich κ X}

$\Psi_1 = Ae^{i\kappa x} + Be^{-i\kappa x}\\ \Psi_2 = Ce^{i\lambda x} + De^{i\lambda x}\\ \Psi_3 = Fe^{i\kappa x} + Ge^{-i\kappa x}\\ \Psi_4 = He^{\mu x} + Ie^{-\mu x}\\ \Psi_5 = Je^{i\kappa x}$ Wo

κ = \frac{\sqrt{2 m E}}{\bar{h}}, λ = \frac{\sqrt{2 m (E - V_{1})}}{\bar{h}}, μ = \frac{\sqrt{2 m (V_{2} - E}}{\bar{h}}

$\kappa = \frac{\sqrt{2mE}}{\bar{h}}, \lambda = \frac{\sqrt{2m(E-V_1)}}{\bar{h}}, \mu = \frac{\sqrt{2m(V_2-E}}{\bar{h}}$ Und

{A, . ., J}

$\{A,..,J\}$ sind die Amplituden der verschiedenen Wellen. Die zweite Lösung habe ich ausgeschlossen

Ψ_{5}

$\Psi_5$ da ich annehme, dass von rechts keine Welle hereinkommt.

Wenn ich Randbedingungen anwende $\Psi_i$ Und $\Psi_i'$ an den Punkten $x = \{0, a_1, a_1 + L, a1 + a2 + L\}$ Ich bekomme 8 separate Gleichungen, und das Ziel ist zu berechnen $T = \frac{|F|^2}{|A|^2}$ . Da ich 9 unbekannte Variablen und 8 separate Gleichungen habe, sehe ich nicht, wie ich das lösen kann. Jede Hilfe ist willkommen, und wenn möglich, möchte ich keine direkte Antwort, sondern nur eine Anleitung. :)

Antworten (2)

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QMechaniker · Answer 1

Da Streuzustände nicht normierbar sind, hat die Wellenfunktion einen willkürlichen Gesamtnormierungsfaktor. Der Reflexionskoeffizient $R=\frac{|B|^2}{|A|^2}$ und Transmissionskoeffizient $T=\frac{|J|^2}{|A|^2}$ hängen nur von den relativen Amplituden ab. Mit anderen Worten, wir können zB die Amplitude setzen $A=1$ des eingehenden Right-Mover wlog

Ich lese Griffiths 'Einführung in die Quantenmechanik und habe ihn dort nicht gesehen (zumindest ab Kapitel 2, wo die potenziellen Brunnen / Barrieren eingeführt werden). Ist die Wahl einer beliebigen Amplitude hier die beste Methode? Ich habe dies in den Zeitungen zu dem Thema, das ich betrachtet habe, nicht gesehen. Kann man es auch anders machen?

Roger Wadim · Answer 2

Was fehlt, ist die Normalisierung. Die Schwierigkeit besteht hier darin, dass in frühen Kapiteln von QM-Büchern oft nicht zwischen Eigenwertproblemen und Streuproblemen unterschieden wird .

Bei Eigenwertproblemen ist das System in der Regel räumlich gebunden, die Zustände sind lokalisiert und die Normierung nimmt vertraute Form an

\int_{- \infty}^{+ \infty} D X ψ^{*} (X) ψ (X) = N,

$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\psi^*(x)\psi(x)=N,$ Wo

N

$N$ ist die Anzahl der Teilchen (oft

N = 1

$N=1$ ).

Bei Streuproblemen hat man es mit ausgedehnten Zuständen zu tun, bei denen die oben definierte Normierung durch die Teilchenzahl sinnlos oder schwer durchführbar ist. Man greift daher auf die Normierung nach Partikelfluss zurück, dh setzt einen bestimmten Wert auf den Wert des ankommenden und/oder abgehenden Partikelflusses/-stroms. In Ihrem Fall würde dies auf eine Einstellung hinauslaufen

A = 1.

$A=1.$

Beachten Sie, dass die Streuprobleme auch unterschiedliche Randbedingungen haben. Beispielsweise könnte man in einer Dimension von links kommende Lösungen betrachten

ψ (X) \sim e^{ich k X} + R_{L L} e^{- ich k X}, Wenn X \to - \infty, ψ (X) \sim T_{L R} e^{ich k X}, Wenn X \to + \infty,

$\psi(x)\sim e^{ikx}+r_{LL}e^{-ikx},\text{ when } x\rightarrow -\infty,\\ \psi(x)\sim t_{LR}e^{ikx},\text{ when } x\rightarrow +\infty,$ sowie die Lösungsvorfälle von rechts )

ψ (X) \sim T_{R L} e^{- ich k X}, Wenn X \to - \infty, ψ (X) \sim e^{ich k X} + R_{R R} e^{ich k X}, Wenn X \to + \infty .

$\psi(x)\sim t_{RL}e^{-ikx},\text{ when } x\rightarrow -\infty,\\ \psi(x)\sim e^{ikx}+r_{RR}e^{ikx},\text{ when } x\rightarrow +\infty.$ (Man könnte stattdessen auch die nach rechts/links abgehenden Zustände definieren .)

Die Koeffizienten in den obigen Bedingungen bilden die sogenannte Streumatrix

S = [\begin{matrix} T_{L R} & R_{L L} \\ R_{R R} & T_{R L} \end{matrix}] .

$S=\begin{bmatrix}t_{LR}& r_{LL}\\r_{RR}&t_{RL}\end{bmatrix}.$ Während es bei den Eigenwertproblemen darum geht, die Eigenzustände und Eigenenergien zu finden, zielt man bei den Streuproblemen darauf ab, die Streulösungen und die obige Streumatrix für gegebene Energie der einfallenden Teilchen zu finden.

Die Streutheorie ist ein Pflichtfach in den Lehrbüchern der Quantenmechanik und die Grundlage der Quantenfeldtheorie. In der QM wird seine Darstellung jedoch normalerweise auf die späteren Kapitel verschoben, und es wird normalerweise für die Streuung in zentralen Potentialen präsentiert, aber nicht in einer Dimension.

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fintallrik

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QMechaniker

fintallrik

Roger Wadim

Elektron, das durch ein Stufenpotential von V0V0V_0 nach 0 wandert

Warum ist es selektiv in Ordnung, sich bei der Lösung von Problemen in der Quantenmechanik, wie dem Sprungpotentialproblem, auf intuitive Analoga zu verlassen?

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