Potentialbarrierenstreuung, wenn die Teilchenenergie gleich der Barrierenhöhe ist

Was passiert, wenn wir haben E = v , Wo E ist die Energie eines ankommenden Teilchens und v ist die Höhe einer quadratischen Potentialbarriere? Diese Wiki-Seite gibt für diesen Fall tatsächlich eine endliche Übertragungswahrscheinlichkeit an. Aber wie sieht die Wellenfunktion im Barrierenbereich aus?

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Ich habe gerade festgestellt, dass der potenzielle Barrierenfall leicht gelöst werden kann und die Übertragung so berechnet werden kann, wie sie im Wiki angegeben ist. Die Dinge liegen jedoch etwas anders, wenn wir anstelle einer quadratischen Barriere ein Stufenpotential am Ursprung haben. Auch wenn ein Stufenpotential nur eine quadratische Barriere mit unendlicher Breite ist, betrachten wir die Situation separat.

Betrachten wir die Schrödinger-Gleichung für die Barriereregion, die von 0 bis geht ∞ , dann haben wir

ψ ″ ( X ) = 0
was bedeutet ψ ( X ) = A X + B , Wo A Und B sind unbestimmte Konstanten. Angenommen, für den barrierefreien Bereich ist die Wellenfunktion gegeben durch e ich k X + R e − ich k X , Wo R ist der Reflexionskoeffizient. Dann haben wir nach Anpassung der Randbedingungen 1 + R = B Und 1 − R = − ich A / k .

Wenn wir fordern, dass die Wellenfunktion auf der Potentialseite nicht explodiert, dann müssen wir haben A = 0 und folglich haben wir R = 1 Und B = 2 , was bedeutet, dass die Wellenfunktion im Potentialbereich eine konstante Funktion ungleich Null ist, obwohl sie vollständig reflektiert wird.

Wie ist diese Besonderheit zu erklären? Liegt es daran, dass diese Übertragung nicht unbedingt mit der Wahrscheinlichkeitsdichte zusammenhängt?

Hallo, haben Sie versucht, die Zahlen einzugeben und E = V in der Streugleichung zu lassen. Das Ergebnis würde mich wirklich interessieren .... wahrscheinlich habe ich es wie Sie studiert, wo E < V und das Gegenteil, aber nie wie in Ihrem Beitrag angegeben
@irishphysics, danke, dass Sie mich daran erinnert haben. Bitte beziehen Sie sich auf die bearbeitete Version der Frage.

Antworten (2)

Wie Sie vermutet haben, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht dasselbe wie die Übertragung. Um eine Übertragung ungleich Null zu haben, muss ein Gradient ungleich Null vorhanden sein:

J = 1 2 M ( ψ † P ^ ψ − ψ P ^ ψ † )

Bei konstanter Wahrscheinlichkeit gibt es keinen Gradienten. Sie haben nur Partikel "Anhäufung". Der Grund dafür ist, dass Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lösen, die die stationären Lösungen liefert. Dies bedeutet, dass das System lange Zeit hatte, sich zu stabilisieren und einen stationären Zustand zu erreichen. Da die Zeit so lang ist (im Wesentlichen unendlich), ist das aufgebaute Teilchen wirklich groß (Wahrscheinlichkeitsintegral von null bis +unendlich). Wenn E niedriger als V wäre, wäre dieser Aufbau auf Bereiche nahe x = 0 beschränkt und hätte eine negative exponentielle Form (auch als evaneszenter Teil bekannt), aber E = V ist ein Grenzfall.

Wenn Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (TDSE) gelöst hätten, würden Sie die Aufbauformen allmählich im Laufe der Zeit beobachten. Nehmen wir insbesondere eine Teilchenquelle an − ∞ (was dies zu einem offenen System macht), das einen konstanten Partikelfluss bei fester Energie liefert E = k 2 / 2 M und eine potenzielle Barriere v ( X ) = v 0 u ( X ) , Wo u ( X ) ist die Stufenfunktion. Beginnen Sie mit der Lösung des TDSE mit einer Anfangsbedingung bei T = 0 von ψ ( T = 0 , X ) = exp ⁡ ( ich k X ) u ( − X ) , was eine grobe Annäherung an die Form der Wellenfunktion kurz vor dem Auftreffen auf die Potentialbarriere ist.

Ich verstehe den Zusammenhang zwischen Zeitabhängigkeit und Partikelaufbau nicht ganz. Wenn die Zeitabhängigkeit hinzugefügt wird, besteht der einzige Unterschied darin, dass alle von mir gelösten Koeffizienten einen einheitlichen Phasenfaktor erhalten. Wie zeigt der Phasenfaktor den Aufbau an?
Ich habe meinen Beitrag etwas editiert. Sie können sehen, dass meine vorgeschlagene Anfangsbedingung kein Eigenzustand ist, daher kann sie keinem einzelnen Phasenfaktor zugeordnet werden. Außerdem handelt es sich bei dem System im Beispiel um ein offenes System, wegen der Quelle at − ∞ .

Ich habe Referenzen gesehen, die die "quadratische Potentialbarriere" mit dem Fall des Raums zwischen zwei Metalloberflächen in Verbindung bringen, aber das ist falsch. Die quadratische Potentialbarriere würde ein unendliches elektrisches Feld an beiden Enden ohne Feld an anderer Stelle erfordern. Dieses Modell wird häufig verwendet, aber ich sehe keine praktische Anwendung.

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