Potentialschachtstreuung

Question

Potentialschachtstreuung

K_invers

Betrachten Sie einen potenziellen Brunnen $V(x)$ gegeben von

\begin{aligned} v (X) = {\begin{cases} 0 & X < 0 \\ - v_{0} & 0 < X < L \\ 0 & X > L \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} V(x) = \begin{cases} 0 \qquad &x < 0 \\ -V_{0} \qquad & 0 < x < L \\ 0 \qquad &x > L \end{cases} \end{align}$ Wo

V_{0} > 0

$V_{0} > 0$ . Ein freies Teilchen mit Energie

E > 0

$E > 0$ ist ein Einfall von links. Ich wurde gebeten, den Transmissionskoeffizienten abzuleiten

T

$T$ gegeben von

\begin{aligned} T = [1 + \frac{v_{0}^{2}}{4 E (E + v_{0})} {Sünde}^{2} (\frac{L}{ℏ} \sqrt{2 M (E + v_{0})})]^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} T = \Bigg[ 1 + \frac{V_{0}^{2}}{4E(E+V_{0})} \sin^{2} \Bigg( \frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_{0})} \Bigg) \Bigg]^{-1} \end{align}$ und ich kann es ableiten.

Meine Frage ist , wenn der Potentialtopf eine sehr große Tiefe hat (dh $V_{0} \to \infty$ ), wir haben $T \to 0$ aus obigem Ausdruck. Es scheint sehr nicht trivial, weil der Potentialtopf das Teilchen sehr stark anziehen sollte, wenn $V_{0} \to \infty$ . Gibt es eine physikalische Erklärung für ein solches Verhalten von $T$ ?

valerio

Warum sagst du das

lim_{V_{0} \to \infty} T = 0

$\lim_{V_0 \to \infty} T = 0$ ?

Sammy Rennmaus

Mögliches Duplikat von Transparenz eines unendlichen quadratischen Brunnens?

K_invers

Denn im Großen und Ganzen

V_{0}

$V_{0}$ , der Koeffizient vor

\sin^{2}

$\sin^2$ ist in Ordnung

V_{0}

$V_{0}$ Und

\sin^{2}

$\sin^2$ ist begrenzt. Daher tendiert der gesamte Ausdruck gegen Null.

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Potentialschachtstreuung

Mögliches Duplikat von Transparenz eines unendlichen quadratischen Brunnens?
Denn im Großen und Ganzen $V_{0}$ , der Koeffizient vor $\sin^2$ ist in Ordnung $V_{0}$ Und $\sin^2$ ist begrenzt. Daher tendiert der gesamte Ausdruck gegen Null.

valerio · Answer 1

Eigentlich ist das leicht zu sehen $T=1$ wann immer

\frac{L}{ℏ} \sqrt{2 M (E + v_{0})} = N π N \in N

$\frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_0)}=n \pi \ \ \ n \in \mathbb N$

Sie können eine Darstellung von sehen $T(V_0)$ unten, mit $E=1$ Und $L \sqrt{2m}/\hbar=1$ (Es soll nur eine qualitative Darstellung haben, also kümmern wir uns nicht um die Einheiten).

Eine interessante Sache ist, dass die Energien einer vollständigen Übertragung entsprechen

E_{N} + v_{0} = \frac{(N π ℏ)^{2}}{2 M L^{2}} N \in N

$E_n +V_0= \frac{(n \pi \hbar)^2}{2 m L^2} \ \ \ n \in \mathbb N$

die genau gleich den Energien sind, die den gebundenen Zuständen des unendlichen quadratischen Brunnens entsprechen.

Zitat von RW Robinett, Quantenmechanik , Kapitel 11:

Dieser Effekt lässt sich leicht in Wellenbegriffen verstehen, da er auf die vollständige destruktive Interferenz zwischen Wellen zurückzuführen ist, die an der ersten „Stufe“ (für die es eine Phasenänderung bei der Reflexion gibt) und der zweiten (für die es keine Phasenänderung gibt) gestreut werden.

Aktualisieren

Richtig ist, dass der Durchschnittswert von $T$ im Intervall berechnet $[0, V]$ nimmt mit der Länge des Intervalls ab $V$ . Dies kann durch numerische Auswertung gesehen werden

\bar{T} (v) = \frac{1}{v} \int_{0}^{v} T (v_{0}) D v_{0}

$\bar T (V) = \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0$

Es ist bewiesen, dass

lim_{v \to \infty} \bar{T} (v) = lim_{v \to \infty} \frac{1}{v} \int_{0}^{v} T (v_{0}) D v_{0} = 0

$\lim_{V \to \infty} \bar T (V)= \lim_{V \to \infty} \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0 = 0$

da die Fläche der Spitzen immer mehr oder weniger gleich ist, aber der Abstand zwischen ihnen proportional zu wächst $n$ .

Über den physikalischen Grund dieses Effekts bin ich mir nicht ganz sicher, aber es läuft alles auf destruktive Interferenz zwischen den Wellen hinaus, die an den beiden "Stufen" des Potentials gestreut werden.

PS: Diese App ist großartig.

Oh vielen Dank!! Übrigens erinnert es mich etwas an klassisches EM, die frustrierte Totalreflexion, obwohl es da nicht genau dasselbe ist $\psi(x)$ In $0 < x < L$ ist keine abklingende Welle.
@QMM Gern geschehen. Ja, es gibt tatsächlich eine starke Analogie zwischen den beiden Phänomenen.

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valerio

Sammy Rennmaus

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valerio

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valerio

Elektron, das durch ein Stufenpotential von V0V0V_0 nach 0 wandert

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