Eigenwert für den Erzeugungsoperator für einen kohärenten Zustand [geschlossen]

Question

Eigenwert für den Erzeugungsoperator für einen kohärenten Zustand [geschlossen]

TBBT

Für einen kohärenten Staat

| a ⟩ = e^{- \frac{| a |^{2}}{2}} \sum_{N} \frac{a^{N}}{\sqrt{N!}} | N ⟩

$|\alpha\rangle=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle$ Ich kann das Eigenwertproblem für nicht lösen

{\hat{a}}^{†} | α ⟩

$\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ Wo

{\hat{a}}^{†}

$\hat{a}^{\dagger}$ ist der Erstellungsoperator. Ich kann nur so weit kommen

\begin{aligned} {\hat{A}}^{†} | a ⟩ & = e^{- \frac{| a |^{2}}{2}} \sum_{N} \frac{a^{N}}{\sqrt{N!}} {\hat{A}}^{†} | N ⟩ \\ = e^{- \frac{| a |^{2}}{2}} \sum_{N} \frac{a^{N}}{\sqrt{N!}} \sqrt{N + 1} | N + 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle&=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\hat{a}^{\dagger}|n\rangle\\ &=e^{-\frac{|\alpha|^{2}}{2}}\sum_{n}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\sqrt{n+1}|n+1\rangle \end{align}$

Schließlich will ich rechnen $\langle \alpha |a\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ , aber ich weiß es nicht $\hat{a}^{\dagger}|\alpha\rangle$ .

qfzklm

Sie kennen das Ergebnis, dass ein Erzeugungsoperator auf einen Eigenzustand einwirkt

| n >

$|n>$ , dann summieren Sie einfach alle Ergebnisse.

TBBT

Ich tat. Aber dann blieb ich danach dort hängen.

frei

@qfzklm vereinfacht das Ergebnis stark? zB ist die resultierende Summe bekannt?

frei

@TBBT welches Ergebnis erwartest du zu finden?

| α ⟩

$|\alpha\rangle$ ist keine Eigenfunktion des Erstellungsoperators - Sie werden nichts finden

\propto | α ⟩

$\propto |\alpha\rangle$ . Wollen Sie wissen, ob sich die Summe vereinfacht?

TBBT

Ich möchte das berechnen,

⟨ α | a a^{†} | α ⟩

$\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . Aber ich weiß nicht was

a^{†} | α ⟩

$a^{\dagger}|\alpha\rangle$ Ist.

zeldredge

@TBBT versuchen Sie, Kommutierungsbeziehungen zu verwenden, um ein zu erhalten

a | α ⟩

$a |\alpha \rangle$ ?

Antworten (3)

Eigenwert für den Erzeugungsoperator für einen kohärenten Zustand [geschlossen]

Sie kennen das Ergebnis, dass ein Erzeugungsoperator auf einen Eigenzustand einwirkt $|n>$ , dann summieren Sie einfach alle Ergebnisse.
@qfzklm vereinfacht das Ergebnis stark? zB ist die resultierende Summe bekannt?
@TBBT welches Ergebnis erwartest du zu finden? $|\alpha\rangle$ ist keine Eigenfunktion des Erstellungsoperators - Sie werden nichts finden $\propto |\alpha\rangle$ . Wollen Sie wissen, ob sich die Summe vereinfacht?
Ich möchte das berechnen, $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . Aber ich weiß nicht was $a^{\dagger}|\alpha\rangle$ Ist.
@TBBT versuchen Sie, Kommutierungsbeziehungen zu verwenden, um ein zu erhalten $a |\alpha \rangle$ ?

Selene Rouley · Answer 1

Um die richtige Antwort von Innisfree zu ergänzen , möchte ich etwas betonen, das das OP nicht zu wissen scheint, und zwar, dass der Erstellungsoperator keine Eigenvektoren (und daher auch keine Eigenwerte) hat. Das ist leicht zu sehen: Schreiben Sie einen allgemeinen Zustand als Zeilenvektor $(\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots)$ von Überlagerungsgewichten für die Zahlzustände $|0\rangle,\,|1\rangle,\,\cdots$ und in dieser Notation unsere Eigenwertgleichung (in $\lambda$ ) für $a^\dagger$ Ist:

A^{†} (ψ_{0}, ψ_{1}, \dots) = (0, ψ_{0}, \sqrt{2} ψ_{1}, \sqrt{3} ψ_{2}, \dots) = λ (ψ_{0}, ψ_{1}, \dots)

$a^\dagger (\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots) =(0,\,\psi_0,\,\sqrt{2} \psi_1,\,\sqrt{3} \psi_2,\,\cdots) = \lambda (\psi_0,\,\psi_1,\,\cdots)$

woher wir kommen $\lambda \,\psi_n=\sqrt{n}\psi_{n-1}$ Und $\lambda\,\psi_0=0$ . Wenn $\lambda = 0$ daraus folgt sofort $\psi_n=0\,\forall\,n\in\mathbb{N}$ . Wenn $\lambda\neq 0$ , Dann $\psi_0=0$ , woher (durch Induktion durch $\psi_n = \sqrt{n}\psi_{n-1}/\lambda$ ) $\psi_n=0\,\forall\,n\in\mathbb{N}$ . Es gibt also keine normierbare Überlagerung von Zahlenzuständen, die ein Eigenvektor für ist $a^\dagger$ . Es ist daher nicht verwunderlich, dass das OP Schwierigkeiten hatte!

Das steht auch in meiner Antwort ;) es ist das gleiche wie der Kommentar "Man sieht schnell..."
@innisfree Ah, tut mir leid, das habe ich verpasst. Ich wollte das OP nur etwas mehr betonen (weil ich mich an einer Stelle erinnern kann, dass ich davon ausgegangen bin, dass der Erstellungsoperator einen Eigenvektor haben würde). Zweifellos wird er/sie sich nach dem heutigen Tag an die Nichtexistenz von Erzeugungsoperator-Eigenvektoren erinnern.
Keine Sorge, es ist hilfreich, dass Sie es etwas mehr betont haben als ich.
"Man sieht schnell" ist gut, aber manchmal ist es hilfreich, Dinge vollständig auszuschreiben. Ich fand diese Antwort nützlich.

frei · Answer 2

Ein kohärenter Zustand ist unter anderem ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators . Es ist kein Eigenzustand des Erstellungsoperators; Daher bin ich mir nicht sicher, ob dieses "Eigenwertproblem" viel Sinn macht.

Dies ist leicht zu realisieren. Das sieht man schnell $\langle0|a^\dagger|\alpha\rangle=0$ , wohingegen $\langle0|\alpha\rangle\neq0$ .

Wenn Sie wirklich finden wollen $\langle \alpha | a a^\dagger|\alpha\rangle$ in zB

⟨ X^{2} ⟩ \propto ⟨ a | (A + A^{†}) (A + A^{†}) | a ⟩

$\langle x^2 \rangle \propto \langle \alpha | (a+a^\dagger)(a+a^\dagger)|\alpha\rangle$ Sie können die Operatoren pendeln

a

$a$ Und

a^{†}

$a^\dagger$ mit der Regel

[a, a^{†}] = 1

$[a,a^\dagger] = 1$ , so dass

⟨ a | A A^{†} | a ⟩ = ⟨ a | A^{†} A | a ⟩ + 1 = 1 + | a |^{2}

Du hast Recht. Allerdings kann ich immer noch nicht rechnen, $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$ . Ich muss in meinen Hausaufgaben etwas lösen, das so aussieht, $\langle\alpha|aa|\alpha\rangle+\langle\alpha|a^{\dagger}a^{\dagger}|\alpha\rangle+\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle+\langle\alpha|a^{\dagger}a|\alpha\rangle$
Ich kann drei der vier obigen Begriffe lösen, aber nicht die $\langle\alpha|aa^{\dagger}|\alpha\rangle$
Ich denke, das ist ganz einfach - pendeln Sie einfach die Operatoren. Siehe meine bearbeitete Antwort.
Wow, ich kann nicht glauben, dass ich das nicht sehen konnte. Vielen Dank!

Robin Ekmann · Answer 3

Unter Verwendung der Definition des Erstellungsoperators, $a^\dagger = c(m\omega \hat x - i\hat p)$ Wo $c$ ist eine Konstante, und $\hat p = -i\hbar\partial_x$ , können Sie das Eigenwertproblem in der Ortsdarstellung schreiben als

(M ω X - ℏ \partial_{X}) ψ = a ψ .

$(m\omega x - \hbar\partial_x)\psi = \alpha\psi.$ Sie können diese Differentialgleichung lösen, um zu finden

ψ = C \exp (M ω X^{2} / ℏ - a X / ℏ)

$\psi = C\exp(m\omega x^2/\hbar - \alpha x/\hbar)$ was eindeutig nicht normalisierbar ist. Daher hat der Erzeugungsoperator keine normierbaren Eigenzustände.

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Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Eigenzustände des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators in der QM zu finden?

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Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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