Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Eigenzustände des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators in der QM zu finden?

Schreiben Sie einen beliebigen Zustand als

$$|\Psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \,.$$

Wenden Sie nun den Erhöhungsoperator an

$$\begin{align} a^\dagger |\Psi\rangle &= a^\dagger \sum_{n=0}^{\infty} c_n |n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} c_n \sqrt{n+1} |n+1\rangle \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1} \sqrt{n} |n\rangle \end{align}$$

Wenn$|\Psi\rangle$ist ein Eigenzustand von$a^\dagger$mit Eigenwert$\alpha$dann haben wir

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle = \sum_{n=1}^\infty c_{n-1} \sqrt{n}|n \rangle \, .$$

So weit bist du schon gekommen. Tatsächlich ist die einzige Lösung für diese Gleichung$c_n=0$für alle$n$. Daher gibt es keinen Eigenzustand von$a^\dagger$.

Die Eigenzustände von$a$, die "kohärente Zustände" genannt werden, sind gegeben durch

$$|\alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle \, .$$ Sie können dies ganz einfach überprüfen, indem Sie sich bewerben $a$Zu $|\alpha \rangle$Das $|\alpha \rangle$ist ein Eigenzustand von $a$.