Der Adjoint des Adjunkten eines Operators

Gegeben sei ein Vektorraum vorbei${\mathbb C}$mit einem inneren Produkt$\langle,\rangle$der Adjunkt$O^\dagger$eines Betreibers$O$wird durch die Anforderung definiert

$$\langle u,O v\rangle=\langle O^\dagger u, v\rangle~.$$ Nehmen Sie nun ein komplexes Konjugat beider Seiten. Verwenden $\langle u,v\rangle^* = \langle v,u\rangle$, wir finden $$\langle O v , u\rangle=\langle v , O^\dagger u\rangle~.$$ Allerdings per Definition $$\langle v , O^\dagger u\rangle = \langle (O^\dagger)^\dagger v , u\rangle~.$$ Daher, $$O = (O^\dagger)^\dagger ~.$$

Wir können den Adjungierten eines Operators definieren$A$als seiend$A^\dagger$so dass,

$$\langle A f_1,f_2\rangle = \langle f_1,A^\dagger f_2 \rangle$$

mit$\langle \cdot,\cdot\rangle$das Skalarprodukt auf dem entsprechenden Hilbert-Raum ist. Nun, wenn wir haben$(A^\dagger)^\dagger$dann ist dies der Adjoint des Operators$A^\dagger$und somit,

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_1,(A^\dagger)^\dagger f_2\rangle$$

ist seine definierende Eigenschaft. Über dem Körper der Realzahlen haben wir, dass das Skalarprodukt symmetrisch ist, und so können wir schreiben:

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_2, A^\dagger f_1\rangle = \langle Af_2,f_1\rangle.$$

Dies stützt sich ausschließlich auf die Definition des Adjunkten von$A$. Das können wir dann durch Vergleich mit der zweiten Gleichung identifizieren$A = (A^\dagger)^\dagger$und der Beweis ist vorbei$\mathbb C$ist ähnlich. Beachten Sie, dass es bei dieser Eigenschaft einen Vorbehalt gibt, nämlich dass ich glaube, dass die Involutivität für beschränkte Operatoren garantiert ist.