Wie verwendet man Leiteroperatoren?

Ich lerne für eine Prüfung in Quantenmechanik und habe Schwierigkeiten zu verstehen, wie man Leiteroperatoren verwendet . Es gibt keine Beispiele in meinem Lehrbuch, nur Definitionen, deren Verwendung ich nicht verstehe, also hoffe ich, dass Sie mir stattdessen helfen können.

Es gibt also eine Aufgabe, bei der Sie die Korrektur erster Ordnung des Grundzustands mithilfe von Leiteroperatoren berechnen sollen. In der richtigen Antwort sagen sie das

E 0 1 = ⟨ 0 | H ' | 0 ⟩

wo kommen die nullen her Ich verstehe, dass sie von der Wellenfunktion kommen ψ . Aber ich verstehe die Theorie dahinter nicht wirklich.

Dann, nach einigen Berechnungen, steht es in der richtigen Antwort

⟨ 0 | A A † A † | 0 ⟩ + ⟨ 0 | A A A † A † | 0 ⟩ = ⟨ 0 | A A † A | 1 ⟩ + ⟨ 0 | A A A † | 1 ⟩

Was sind die mathematischen Regeln dieser Leiteroperatoren? Wie wurden diese Nullen zu Einsen?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte, das ein bisschen besser zu verstehen.

Antworten (2)

Der | 0 ⟩ stellt die Grundzustandswellenfunktion dar. Wenn wir den harmonischen Oszillator betrachten, wissen wir, dass die Wellenfunktion die Form annimmt

ψ ( X ) = 1 2 N N ( M ω ℏ π ) 1 / 4 e − M ω X 2 / 2 ℏ ⋅ H N ( M ω ℏ X )
Wo H N ( X ) ist das Hermite-Polynom . Die Lösung der Schrödinger-Gleichung, H ^ ψ = E N ψ , gibt die Energie als
E N = ℏ ω ( N + 1 2 )

Seit ψ hat eine ziemlich komplizierte Form, es ist einfacher, es einfach als Ket darzustellen: ψ → | N ⟩ , da die Energie wirklich davon abhängt N . Der niedrigste Wert N sein kann ist 0, also ist der Grundzustand | 0 ⟩ .

Die Ladder-Operatoren heben und senken den Index N im Eigenzustand:

A | N ⟩ = N | N − 1 ⟩ A † | N ⟩ = N + 1 | N + 1 ⟩
Wenn Sie den BH anlegen ⟨ N | zu den oben erhalten wir
⟨ N | A | N ⟩ = N + 1 ⟨ N | N − 1 ⟩ = 0 ⟨ N | A † | N ⟩ = N ⟨ N | N + 1 ⟩ = 0
denn jeder | N ⟩ ist orthogonal zum Zustand | M ⟩ Wenn M ≠ N . Wenn wir ein Heben und Senken gemacht hätten, hätten wir es getan
⟨ N | A A † | N ⟩ = N + 1 ⟨ N | A | N + 1 ⟩ = N + 1 ⋅ N + 1 ⟨ N | N ⟩ = N + 1

Für Ihre Zuordnung können Sie die Operatoren als trennen

A A A † A † | 0 ⟩ = ( A A A † ) A † | 0 ⟩
Und wenn wir dann die obige Beziehung verwenden, finden wir
A † | 0 ⟩ = 0 + 1 | 0 + 1 ⟩ = | 1 ⟩
Jetzt können wir den nächsten Operator darauf anwenden,
A † | 1 ⟩ = 1 + 1 | 1 + 1 ⟩ = 2 | 2 ⟩
Die letzten beiden geben uns ein Ergebnis von
A A A † A † | 0 ⟩ = 2 | 0 ⟩
Schließen Sie dies mit ab ⟨ 0 | , wir bekommen
⟨ 0 | A A A † A † | 0 ⟩ = 2 ⟨ 0 | 0 ⟩ = 2

Also, 0 ist der Grundzustand der Wellenfunktion und ist wie die allererste Sprosse der physikalischen Leiter und wird als bezeichnet 0 in Ihrem Fall und wenn Sie den Senkantrieb bedienen " A " Darauf bringt es Sie in den negativen Zustand, aber das ist verboten, also erhalten Sie Ihre Antwort als Null. Und wenn Sie den Erhöhungsoperator betätigen " A + " darauf, dann bewegt es sich einfach eine Stufe höher in den ersten angeregten Zustand, der als bezeichnet wurde 1 in Ihrem Fall. Im Prinzip können Sie durch Anwenden des Anhebeoperators in unendlich höhere angeregte Zustände wechseln, aber durch Anwenden des Absenkoperators können Sie in niedrigere Zustände wechseln, bis Sie die letzte Sprosse erreichen, dh den Grundzustand oder den 0 Zustand und danach ist es verboten. Hoffe du kannst jetzt aufholen.

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