Erstellen eines QM-Zustands einer bestimmten Position im Fock-Raum

Question

Erstellen eines QM-Zustands einer bestimmten Position im Fock-Raum

mavzolej

Ich frage mich, ob mir jemand helfen könnte, eine einfache Berechnung zu beenden. Lassen Sie mich zunächst eine Motivation für die folgende Frage liefern: Ich möchte eine QM-Amplitude im 'QFT-Stil' schreiben, als

⟨ ϕ_{2} (T_{2}) ϕ_{1} (T_{1}) ⟩ = ⟨ 0 | {\hat{ϕ}}_{2} (0) e^{- ich H (T_{2} - T_{1})} {\hat{ϕ}}_{1} | 0 ⟩

$\langle \phi_2 (t_2) \phi_1(t_1) \rangle = \langle 0 | \hat{\phi}_2(0) \operatorname{e}^{-i H (t_2 - t_1)} \hat{\phi}_1 | 0 \rangle$ Hier bin ich davon ausgegangen

{\hat{ϕ}}_{1, 2}

$\hat{\phi}_{1,2}$ sind hermitesch, was im Allgemeinen nicht unbedingt wahr sein muss.

OK, jetzt die Frage: Ich würde gerne wissen, welcher Operator die Ortseigenzustände in QM erzeugt. Hier ist mein Versuch, seine Matrixelemente in der Positionsdarstellung zu finden:

\begin{matrix} \hat{Ö} | 0 ⟩ = | X ⟩ (per Definition) \\ ⟨ X^{'} | \hat{Ö} | 0 ⟩ = ⟨ X^{'} | X ⟩ = δ (X - X^{'}) \\ \int D X^{″} ⟨ X^{'} | \hat{Ö} | X^{″} ⟩ ⟨ X^{″} | 0 ⟩ = δ (X - X^{'}) \end{matrix}

$\begin{gather} \hat{\mathcal{O}} |0\rangle = |x\rangle \qquad \text{(by definition)}\\ \langle x'| \hat{\mathcal{O}} |0\rangle = \langle x'|x\rangle = \delta(x-x')\\ \int \operatorname{d}x''\langle x'| \hat{\mathcal{O}} |x''\rangle \langle x''|0\rangle =\delta(x-x')\\ \end{gather}$

Hier kommt die Abhängigkeit vom Hamilton-Operator – wir können nicht weiter fortfahren, ohne die besondere Form von anzugeben $H$ , und so weiter $\langle x'' | 0 \rangle$ . Der Einfachheit halber beginnen wir natürlich mit dem harmonischen Oszillator.

⟨ X | 0 ⟩ = π^{- 1 / 4} e^{- X^{2} / 2}

$\langle x | 0 \rangle = \pi^{-1/4} \operatorname{e}^{-x^2/2}$

Wo ich gewählt habe $\dfrac{m \omega}{\hbar} = 1$ zur Bequemlichkeit. Daher erhält man:

π^{- 1 / 4} \int D X^{″} ⟨ X^{'} | \hat{Ö} | X^{″} ⟩ e^{- (X^{″})^{2} / 2} = δ (X - X^{'})

$\pi^{-1/4}\int \operatorname{d}x''\langle x'| \hat{\mathcal{O}} |x''\rangle \operatorname{e}^{-(x'')^2/2} =\delta(x-x')\\$

Kann mir jemand helfen zu finden $\langle x'| \hat{\mathcal{O}} |x''\rangle$ ? Das erwarte ich sicher nicht $\hat{\mathcal{O}}$ ein "netter" Operator sein, da er keinen richtig normalisierten Zustand definiert. Ich gehe davon aus, dass es sich um eine Art Distribution handelt, deren Kernel ich gerne kennen würde.

AKTUALISIERUNG 1

Einige Klarstellungen zur Formulierung der Frage:

Die Frage bezieht sich auf a $1$ -d QM-Problem mit einem einzigen Freiheitsgrad. Im Prinzip hat es NICHT mit QFT zu tun.
Ausgehend von der Linie, wo ich die besondere Form des Hamiltonoperators (QHO) und des Grundzustands gewählt habe, lautet die Definition des Vakuums $\hat{a} |0\rangle = 0$ , Wo $\hat{a}$ ist der übliche QHO-Vernichtungsoperator.

AKTUALISIERUNG 2

@AccidentalFourierTransform hat Folgendes vorgeschlagen:

⟨ X^{'} | \hat{Ö} | X^{″} ⟩ = π^{1 / 4} e^{+ (X^{″})^{2} / 2} e^{ich X^{″} (X - X^{'})} / (2 π)

$\langle x' |\hat{\mathcal{O}} | x''\rangle= \pi^{1/4} \operatorname{e}^{+(x'')^2/2} \operatorname{e}^{i x'' (x-x')} / (2\pi)$

Das Einsetzen in die vorherige Zeile führt eindeutig zum richtigen Ergebnis. Nun ist meine Frage, ob eine solche Definition tatsächlich einen (zumindest in gewissem Sinne netten) Operator definieren kann. Was mich verwirrt ist der Faktor $\operatorname{e}^{+(x'')^2/2}$ zusammen mit der Tatsache, dass wir über integrieren $x''$ .

Alfred Centauri

Haben Sie darüber nachgedacht, den Positionseigenzustand auf die QHO-Zahlenbasis zu projizieren?

mavzolej

@alfred-centauri, das war nicht meine ursprüngliche Absicht, aber ich werde versuchen, zu sehen, ob es hilft.

mavzolej

Ich stimme zu, dass meine Bedingung den Operator nicht eindeutig spezifiziert. Mein natürlicher Vorschlag ist, es durch Anfordern zu beheben

\hat{O} = {\hat{O}}^{†}

$\hat{\mathcal{O}}=\hat{\mathcal{O}}^\dagger$ .

mavzolej

Guter Punkt. Denken Sie jetzt an eine vernünftige Anforderung. In der QFT entstehen die Zustände von bestimmtem Ort/Impuls als Eigenzustände der entsprechenden Operatoren, aber in der QM haben wir keine Analogie dazu.

Antworten (1)

Erstellen eines QM-Zustands einer bestimmten Position im Fock-Raum

Haben Sie darüber nachgedacht, den Positionseigenzustand auf die QHO-Zahlenbasis zu projizieren?
@alfred-centauri, das war nicht meine ursprüngliche Absicht, aber ich werde versuchen, zu sehen, ob es hilft.
Ich stimme zu, dass meine Bedingung den Operator nicht eindeutig spezifiziert. Mein natürlicher Vorschlag ist, es durch Anfordern zu beheben $\hat{\mathcal{O}}=\hat{\mathcal{O}}^\dagger$ .
Guter Punkt. Denken Sie jetzt an eine vernünftige Anforderung. In der QFT entstehen die Zustände von bestimmtem Ort/Impuls als Eigenzustände der entsprechenden Operatoren, aber in der QM haben wir keine Analogie dazu.

Kosmas Zachos · Answer 1

Nun, Sie haben nach einem Anfang gefragt, nicht nach einem netten Operator - aber ich vermute, dass eine kohärente Zustands-/Verschiebungsoperator-Rezension oder ein Papier es gut hat. Ich beeile mich, das Problem zu formulieren, und Sie könnten sich dafür entscheiden, es effizienter auszuführen.

Sie suchen einen darstellungsändernden Operator $\hat{\mathcal{O}}(x)$ Sie gelangen von Fock-Zuständen (Eigenzustände des Zahl-/Energieoperators) zu Eigenzuständen des Positionsoperators $\hat{X}$ mit Eigenwert x . Der Operator wird eine Funktion von x und Erzeugungsoperatoren sein.

Ich verwende die Konventionen von Sakurai & Napolitano, QM, (2.3.21),

| N ⟩ = \frac{A^{† N}}{\sqrt{N!}} | 0 ⟩

$|n\rangle= \frac{a^{\dagger ~n}}{\sqrt{n!}} |0\rangle$ und vor allem, da Sie den gesamten Fock-Raum verwenden (2.3.32),

⟨ N | X ⟩ = \frac{1}{π^{1 / 4} \sqrt{2^{N} N!}} (X - \partial_{X})^{N} e^{- X^{2} / 2} .

$\langle n| x \rangle= \frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^n~n!}}~ (x-\partial_x)^n~ e^{-x^2/2} ~.$

Sie stellen dann Ihre Basisänderung ein,

| X ⟩ = \hat{Ö} (X) | 0 ⟩ = \sum_{0}^{\infty} C_{N} (X) | N ⟩,

$|x\rangle= \hat{\mathcal{O}}(x) |0\rangle= \sum_0^\infty c_n (x) |n\rangle,$ und verwenden Sie die obige Beziehung, wie Sie es für n = 0 getan haben, um die Koeffizienten c(x) zu bestimmen .

Die gute Nachricht ist, dass die Antwort,

| X ⟩ = \sum_{0}^{\infty} \frac{1}{π^{1 / 4}} \frac{(X - \partial_{X})^{N} A^{† N}}{2^{N / 2} N!} e^{- X^{2} / 2} | 0 ⟩

$|x\rangle= \sum_0^\infty \frac{1}{\pi^{1/4}} ~ \frac {(x-\partial_x)^n a^{\dagger ~n}}{2^{n/2} n!} e^{-x^2/2 }|0\rangle$ potenziert, so oft,

\hat{Ö} (X) = \frac{1}{π^{1 / 4}} e^{(X - \partial_{X}) A^{†} / \sqrt{2}} e^{- X^{2} / 2},

$\hat{\mathcal{O}}(x)= \frac{1}{\pi^{1/4}} e^{(x-\partial_x)~ a^\dagger /\sqrt{2} } ~ e^{-x^2/2 },$ und die Exponentialfunktion der Operatoren lässt sich einfach unter Verwendung der degenerierten CBH-Identität aufteilen, da

[x, - \partial] = 1

$[x,-\partial] =1$ , So

\exp (- a^{† 2} / 4) \exp (x a^{†} / \sqrt{2}) \exp (- a^{†} \partial_{x} / \sqrt{2})

$\exp(-a^{\dagger ~2}/4) \exp(xa^\dagger/\sqrt{2})\exp(-a^\dagger \partial_x /\sqrt{2})$ . Und damit erhält man rechts die Exponentialfunktion des Gradienten ∂, also einen Übersetzungsoperator: Er übersetzt den Exponenten der x -Gaußfunktion in

- (x - a^{†} / \sqrt{2})^{2} / 2

$-(x-a^\dagger/\sqrt{2})^2/2$ .

So endlich,

\hat{Ö} (X) = \frac{1}{π^{1 / 4}} e^{- X^{2} / 2} e^{\sqrt{2} X A^{†}} e^{- A^{† 2} / 2} = \frac{e^{X^{2} / 2}}{π^{1 / 4}} e^{- (A^{†} - \sqrt{2} X)^{2} / 2} .

$\bbox[yellow,5px]{\hat{\mathcal{O}}(x)= \frac{1}{\pi^{1/4}} e^{-x^2/2} e^{\sqrt{2} xa^\dagger} e^{-a^{\dagger ~2}/2} =\frac{e^{x^2/2}}{\pi^{1/4}} e^{-(a^\dagger-\sqrt{2} x)^2/2} } .$ Als Lerche können Sie das überprüfen, da

a

$a$ fungiert als Ableitung bzgl

a^{†}

$a^\dagger$ ,

\frac{(A + A^{†})}{\sqrt{2}} \hat{Ö} (X) | 0 ⟩ = X \hat{Ö} (X) | 0 ⟩,

$\frac{(a+a^\dagger)}{\sqrt 2} ~\hat{\mathcal{O}}(x) |0\rangle= x~\hat{\mathcal{O}}(x) |0\rangle ~,$ also ein Eigenzustand von

\hat{X}

$\hat{X}$ , In der Tat.

Ich habe die Delta-Orthogonalität nicht überprüft $\langle y|x\rangle$ Staaten hier.

Edit : Ich habe heute herausgefunden, dass das doch Prob ist. 14.4.a) des Buches von M. Schwartz über QFT. Auf jeden Fall das Ausarbeiten des < x | p > in 312004 ergibt die ebene Welle, und das Einfügen vollständiger Impulszustände und Integrieren über sie erzeugt trivialerweise die Normalisierung der δ-Funktion $\langle y| x\rangle\propto \delta(x-y)$ gesucht.

Bearbeiten II : Dies ist tatsächlich auf die berühmte Segal-Bargmann-Transformation , Def 2 & Corollary 1 reduzierbar, falls Sie es formeller verfolgen und Etiketten darauf kleben möchten.

Edit III : Ich werde immer wieder nach dem Anschluss dieses Oszillatorvakuums gefragt $|0\rangle$ zum translationsinvarianten Vakuum von Diracs Buch, dem großartigen Standard-Ket , $~\lim_{p\to 0} |p\rangle\equiv |\varpi\rangle ~$ , wofür $~\hat{p} |\varpi \rangle =0~$ Und $~\langle x | \varpi\rangle=1/\sqrt{2\pi \hbar}~$ , ebenso gut wie $~\langle x | \hat{x}|\varpi\rangle=x/\sqrt{2\pi \hbar}$ .

Das Verhältnis ist eigentlich

| ϖ ⟩ = \exp (A^{†} A^{†} / 2) | 0 ⟩ \frac{1}{(π ℏ)^{1 / 4}},

$|\varpi\rangle= \exp (a^\dagger a^\dagger /2) |0\rangle {1\over (\pi \hbar)^{1/4}}~,$ implizit in dem oben Gesagten, aber offensichtlich in dieser undurchsichtig platzierten Antwort . Bei genauerer Betrachtung befindet sich dieser Zustand im Kernel von

\sqrt{2} \hat{p} = a - a^{†}

$\sqrt{2} \hat{p}=a-a^\dagger$ .

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mavzolej

Alfred Centauri

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Antworten (1)

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