Wie berechnet man die Ortseigenwerte der dem Ortsoperator entsprechenden Matrix?

Indirekt.

Stellen Sie zunächst die lästigen und nutzlosen Konstanten ein$\hbar/m\omega \mapsto 1$, um in natürlichen Einheiten zu arbeiten. Sie erkennen dann die Matrix, wie Eric betont, indem er sich mit seiner (5) identifiziert, wie sie in der Zahlenbasis der diskreten Energie-Eigenzustände des Oszillators geschrieben ist$|n\rangle$. Nun zu einem gefeierten Basiswechsel. Unendlichkeit sollte Sie nicht stören.

Betrachten Sie den Staat

Die Profis verwenden normalerweise einfachere Operatoren anstelle von vollständigen Summen; das heißt, sie summieren die Summe auf

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also, dass die Eigenwerte alle stetigen Werte x für Eigenvektoren sind$e^{x^2/2} e^{-(a^\dagger-\sqrt{2} x)^2/2} |0\rangle /\pi^{1/4}$.

Um Ihre Algebra zu überprüfen, versuchen Sie den offensichtlichen nicht normalisierten Eigenvektor, der x=0 entspricht ,$(1,0,-1/\sqrt{2},0,\sqrt{3/8},0,-\sqrt{5}/4,0,...)$, verbunden mit Hermite - Zahlen .

Für eine schnelle Krippe auf der Zahlenbasis ops vgl. Messiah, Quantum Mechanics vI Ch XII §5.

1. Diese "Matrix"-Form des Positionsoperators, unendlichdimensional oder nicht, ist bedeutungslos, da weder Sie noch die Seite, auf die Sie verlinken, angeben, auf welcher Basis er sich befinden soll.

2. Seit der$\delta$-Verteilungen, die man als Eigenvektoren des Positionsoperators annehmen könnte, sind nicht Teil des Hilbert-Raums der quadratintegrierbaren Funktionen, auf die der Positionsoperator wirkt, er kann auf diesem Raum nicht diagonalisiert werden. Damit ein Operator auf einem unendlichdimensionalen trennbaren Hilbert-Raum in einem sinnvollen Sinne diagonalisierbar ist, muss sein Spektrum diskret sein, da die übliche Bedeutung einer "Basis" eines solchen Raums die einer Hilbert-Basis ist, die einzählbar ist der trennbare Fall.

Wenn wir dieses Problem so angehen, wie Sie es formulieren, ohne irgendeinen Kontext vorauszusetzen, haben wir Folgendes: Wir erhalten eine Matrix auf einer nicht spezifizierten Basis, die Cosmas als die Energie-Eigenzustände eines harmonischen Oszillators identifiziert hat, und die uns, wie uns gesagt wird, dem entspricht Positionsoperator.

In dieser (Hilbert-)Basis sind die Deltafunktionen die Standardbasiselemente, die keine Ortseigenfunktionen sind, da sie keine Eigenfunktionen der gegebenen Matrix sind.

Nennen wir unsere Basiselemente$|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,\ldots,|k\rangle,\ldots$. Ihre lineare Spannweite ist dicht im Zustandsraum, und ein allgemeines Element kann als Grenzwert bezüglich des offensichtlichen Skalarprodukts geschrieben werden, das dies zu einer orthonormalen Basis macht, die eine quadratisch integrierbare Folge ist$(a_k)_{k\ge0} = (a_0,a_2,a_3,\ldots)$.

Ihre Frage ist, wie Sie die Eigenwerte finden, wenn Sie kein charakteristisches Polynom aufschreiben können. Wenn die Matrix eine schöne Form wie die vorliegende hat, in der die Matrixeinträge ein Ausdruck in Zahlen sind$n$der Zeile, in der sie sich befinden, erhalten wir eine Wiederholung, mit der Sie die Koeffizienten einzeln finden können.

In unserem Beispiel z$(a_k)$um einen Eigenvektor mit Eigenwert zu bilden$\lambda$Wir müssen haben

Und

Dies definiert eine Wiederholung, die durch Schreiben vereinfacht werden kann$b_k = \sqrt{k!}a_k$, für die wir bekommen

Und

Die Lösung mit$b_0 = 0$gibt dem$0$Vektor, also können wir davon ausgehen$b_0 = 1$. Das ist für jeden klar$\lambda$Wir bekommen eine Folge$b_k$Das ist eine Lösung ($\lambda = 0$gibt Cosmas' Lösung, wie es sein sollte). Dies ergibt eine unendliche Reihe in der ursprünglichen Basis, deren Grenzwert, falls vorhanden, der Ortseigenzustand für den Ort wäre$\lambda$. Beachten Sie, dass dies, zurück zum harmonischen Oszillator, eine explizite Summe in Energieeigenzuständen ist, deren explizite Form bekannt ist.

Was nicht so klar ist, ist, ob die zugehörige Sequenz$(a_k)$tatsächlich quadratintegrierbar ist, dh wenn$\langle a,a\rangle = \sum a_k^2 = \sum \frac{b_k^2}{k!} < \infty$, für die wir das Wachstum von begrenzen müssen$b_k$. Noch besser wäre es, eine geschlossene Form für den Ausdruck zu finden$b_k$.

Wir können mit der Einstellung beginnen$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty b_kx^k$sei die erzeugende Funktion der$b_k$. Dann impliziert die Wiederholungsrelation dies$f - \lambda xf + x^2(xf)' = f - \lambda xf + x^2f + x^3f'$ist eine Potenzreihe, deren Koeffizient von$x^{n+1}$Ist$nb_{n-1} + b_{n+1} - \lambda b_n$für$n\ge 0$, also ist dies 0, während der konstante Term ist$b_0 = 1$, damit wir endlich erhalten können

Das ist auch allgemein. Das sieht in unserem Fall gar nicht so einfach aus, aber sympy findet tatsächlich die Lösung

Für nett$f$, finden Sie möglicherweise einen Ausdruck in geschlossener Form für die$b_n$, daher die$a_n$aus seinen Taylor-Koeffizienten. In diesem Fall, wenn jemand weiß, wie man daraus (oder auf andere Weise) einen geschlossenen Formausdruck für die Koeffizienten findet oder wie man die Koeffizienten begrenzt$b_n$, Bitte kommentieren.

Als letzte Bemerkung: Die Summe der Reihen kann in gewissem formalen Sinne auch dann existieren, wenn sie außerhalb des Zustandsraums liegt. Wenn die Summe der Quadrate divergiert, bedeutet dies, dass sie nicht normalisierbar ist, so dass die standardmäßige probabilistische Interpretation des Zustandsvektors einige Schwierigkeiten bereiten wird. Wie ACuriousMind bemerkte, sollte die Tatsache, dass es eine unzählbare Anzahl von Positionseigenwerten gibt, implizieren, dass keine dieser Summen tatsächlich quadratisch integrierbar ist.