Eigenzustände eines verschobenen harmonischen Oszillators

Das Schlüsselkonzept, nach dem gesucht werden muss, sind Zustände der verschobenen Zahl . Dies sind ganz einfach die Zahlenzustände$|n⟩$, verschoben durch den Verschiebungsoperator

$$D(\alpha)=\exp\left[\alpha a^\dagger-\alpha^*a\right]$$ bis zu einem gewissen Punkt$\alpha=x+ip$auf dem komplexen Phasenraum. Der Grundzustand eines harmonischen Oszillators, der in einen reellen verschoben wurde$\alpha=x$ist, wie Sie bemerken, der kohärente Zustand $$|\alpha⟩=D(\alpha)|0⟩.$$ Der Rest der Eigenzustände ist in ähnlicher Weise $$|\alpha,n⟩=D(\alpha)|n⟩.$$

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Der einfachste Weg, dies zu beweisen, besteht darin, die Kommutierungs-/Verschiebungsbeziehungen zwischen dem Verschiebungsoperator und den Leiteroperatoren zu verwenden,

$$aD(\alpha)=D(\alpha)(a+\alpha)\quad\text{and}\quad a^\dagger D(\alpha)=D(\alpha)(a^\dagger+\alpha^*).$$ Sie können dann die Eigenwertgleichung transformieren$a^\dagger a|n⟩=n|n⟩$hinein $$\begin{align} (a^\dagger-\alpha^*)(a-\alpha)|\alpha,n⟩ &=\left(D(\alpha)a^\dagger D(\alpha)^\dagger\right) \left(D(\alpha)aD(\alpha)^\dagger\right) D(\alpha)|n⟩ \\ &= D(\alpha)a^\dagger a|n⟩=nD(\alpha)|n⟩ \\&=n~|\alpha,n⟩, \end{align}$$ oder alternativ $$\left[a^\dagger a-(\alpha a^\dagger +\alpha^*a)\right]~|\alpha,n⟩ =(n-|\alpha|^*)~|\alpha, n⟩.$$

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Nun, wie alle Zustände im Hilbert-Raum, können die verschobenen Zahlenzustände in der Basis von Zahlenzuständen geschrieben werden, als$|\alpha,n⟩=\sum_{m=0}^\infty c_m(\alpha)|m⟩$. Die Koeffizienten in dieser Entwicklung sind einfach die Matrixelemente des Verschiebungsoperators in der Zahlenbasis:

$$⟨m|\alpha,n⟩=⟨m|D(\alpha)|n⟩.$$

Dies kann auf verschiedene Arten berechnet werden, die entweder chaotisch aussehen oder aus dem Nichts gezogen zu sein scheinen, aber was letztendlich zählt, ist das Ergebnis. Sie kommen als heraus

$$⟨m|D(\alpha)|n⟩=\sqrt{\frac{n!}{m!}}\alpha^{m-n}e^{-\tfrac12|\alpha|^2}L_n^{(m-n)}(|\alpha|^2)\quad\text{when }m\geq n, \tag 1$$ Wo$L_n^{(m-n)}$ist ein Laguerre-Polynom .

Die Standardreferenz in der Literatur für dieses Matrixelement ist Anhang B von

Geordnete Erweiterungen in Boson-Amplitudenoperatoren. KE Cahill und RJ Glauber. Phys. Rev. 177 No. 5, 1857-1881 (1969) .

Es ist erwähnenswert, dass die meiste Literatur einfach das Ergebnis zitiert$(1)$und schreibt es Cahill und Glauber zu, aber die meisten Artikel zitieren sowohl den obigen Artikel als auch einen zweiten Back-to-Back-Artikel , ebenfalls von Cahill und Glauber, der das Ergebnis nicht enthält. Seien Sie also vorsichtig und zeigen Sie, dass Sie gelesen haben, was Sie zitieren!

Meine Bachelorarbeit,

E. Pisanty. Estados coherentes generalizados y estructura analítica del operador de aniquilación [pdf] (Verallgemeinerte kohärente Zustände und die analytische Struktur des Vernichtungsoperators). Tesis de licenciatura, Universidad Nacional Autónoma de México, 2011.

war zu diesem Thema und enthält eine alternative Berechnung, obwohl (leider?) alles auf Spanisch ist.

I) Richtig, der Betreiber

$$\tag{1} \hat{A}~\equiv~ \hat{a}-\alpha{\bf 1}, \qquad \alpha\in \mathbb{C},$$

erfüllt die gleichen Vertauschungsbeziehungen

$$\tag{2} [\hat{A},\hat{A}^{\dagger}] ~=~{\bf 1}$$

als

$$\tag{3} [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}] ~=~{\bf 1}.$$

(Im Beispiel von OP die komplexe Zahl$\alpha=-1$.)

II) Zahlenoperator definieren

$$\tag{4} \hat{N}~:=~\hat{A}^{\dagger}\hat{A}$$

analog zu

$$\tag{5} \hat{n}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a}.$$

III) Das einzige nicht triviale Problem ist der entsprechende Fock-Raum . Die üblichen normalisierten Fock-Zustände lauten

$$\tag{6} | n \rangle~:=~\frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat{a}^{\dagger})^n|0 \rangle, \qquad \hat{a}|0 \rangle~=~0, \qquad \langle 0|0 \rangle~=~1 .$$

Die üblichen nicht normalisierten kohärenten Zustände werden gelesen

$$\tag{7} | z )~:=~e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0 \rangle, \qquad \hat{a}| z )~=~z| z ), \qquad (w |z ) ~=~ e^{\bar{w}z}.$$

Neuen normalisierten Vakuumzustand definieren

$$\tag{8} | 0 ] := e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}| \alpha ),\qquad \hat{A}|0 ]~=~0 , \qquad [ 0|0 ]~=~1 .$$

Definieren Sie neue normalisierte Fock-Zustände

$$\tag{9} | N ]~:=~\frac{1}{\sqrt{N!}} (\hat{A}^{\dagger})^N | 0 ].$$