Warum funktionieren die Leiteroperatoren in harmonischen Oszillatoren?

Ähnlich wie bei AccidentalFourierTransform bin ich mir nicht sicher, ob ich Ihr Problem gut verstehe.

Es gibt jedoch einen entscheidenden Punkt in Ihrer Argumentation, der normalerweise in vielen Lehrbüchern zu diesen Themen fehlt.

Es ist wahr, dass Zersetzung$H$als$H= \hbar\omega( a^\dagger a + \frac{1}{2})$und die Relationen nehmen (nach CCR)$[a, a^\dagger] =I$berücksichtigt man eine Reihe von Vektoren, die mit gekennzeichnet sind$n \in \mathbb R$,$|n\rangle$, so dass$\langle n|m \rangle = \delta_{nm}$, aber es reicht keineswegs aus, um zu beweisen, dass das Spektrum von$H$ist diskret mit

$$\sigma(H)= \{ \hbar \omega (n + 1/2)\:|\: n \in \mathbb N\}\:.\tag{1}$$

Die übersehene Tatsache ist, dass die Vektoren$|n\rangle$einen vollständigen Satz orthonormaler Vektoren bilden .

Die Untersuchung dieses Problems ist notwendig, da der Hilbert-Raum dies ist$L^2(\mathbb R)$also unendlichdimensional.

Vollständigkeit ergibt sich nicht aus algebraischen Argumenten und muss separat hergestellt werden, indem man sich auf die explizite Form von Wellenfunktionen konzentriert$\psi_n(x) = \langle x|n\rangle$. Diese sind die Grundlage von Hermite-Funktionen , deren endliche Spannweite dicht ist$L^2(\mathbb R)$, was wiederum sicherstellt, dass die orthonormale Menge$\{|n\rangle\}_{n \in \mathbb N}$ist komplett wie gewünscht. Als Folge des Spektralsatzes gilt:$H$ist im Wesentlichen selbstadjungiert auf der Spannweite von$|n\rangle$s und das Spektrum seiner einzigartigen selbstadjungierten Erweiterung ist gerade (1).

Bezüglich der offensichtlichen Ähnlichkeiten mit den analogen Konstruktionen im Zusammenhang mit$SU(2)$und der Drehimpulstheorie lässt sich das tatsächlich beweisen$L^2(\mathbb R)$ist der Trägerraum einer (stark stetigen) irreduziblen Darstellung der Weyl-Heisenberg- Lie-Gruppe, und das algebraische Verfahren basiert auf den algebraischen Manipulationen von$a$Und$a^\dagger$Diese Darstellung zu konstruieren ist streng analog zu derjenigen, die verwendet wird, um die entsprechenden irreduziblen einheitlichen Darstellungen von zu konstruieren$SU(2)$Umgang mit den Leiterbetreibern$J_-$Und$J_+= (J_-)^\dagger$.

Die Situation der kompakten Lie-Gruppe$SU(2)$ist jedoch anders, aufgrund der bekannten Tatsache, dass alle stark stetigen irreduziblen einheitlichen Darstellungen einer kompakten topologischen Gruppe im Hinblick auf den Satz von Peter-Weyl notwendigerweise endlichdimensional sind. Diese Eigenschaft garantiert, dass reine algebraische Manipulationen ausreichen, um beispielsweise eine (notwendigerweise endliche!) orthogonale Basis des Drehimpulses zu finden. Das Argument kann für den harmonischen Oszillator nicht verwendet werden, da die Weyl-Heisenberg-Gruppe nicht kompakt ist und unendlich dimensionale Darstellungen zulässt.

Nun, ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage verstanden habe, also werde ich schreiben, was ich denke, und mal sehen, ob es nützlich ist :-)

Die Algebra$[a,a^\dagger]=1$ist alles, was Sie zum Diagonalisieren brauchen$H$, aber das ist da was$H$sieht aus wie:

$$H=\omega a^\dagger a$$

Die wichtigen Observables, nämlich$H,P,X$, können als Polynome in geschrieben werden$a,a^\dagger$:

$$\begin{aligned} X&=a+a^\dagger\\ P&=i(a-a^\dagger)\\ H&=\omega a^\dagger a \end{aligned}$$ und natürlich können wir zeigen, dass jede beobachtbare $\mathcal O(P,X)$kann als Linearkombination von Monomen in geschrieben werden $a,a^\dagger$.

Jetzt diagonalisieren$H$ist dasselbe wie das Auflösen nach der Zeitentwicklung von Operatoren, weil in der Basis wo$H$Die diagonale Zeitentwicklung ist trivial. Aber die Zeitentwicklung ist durch den Kommutator gegeben$[\mathcal O,H]$, und unter Verwendung der Produktregel und der Linearität von$[\cdot,\cdot]$, es ist leicht zu sehen, wenn wir es wissen$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$Und$[a,a^\dagger]$, kennen wir den Kommutator jeder Observablen$\mathcal O$mit$H$, das heißt, wir kennen die zeitliche Entwicklung jeder Observable.

Zum Beispiel,

$$\begin{aligned} i\dot X&=[X,H]=\omega[a+a^\dagger,a^\dagger a]=[a,a^\dagger a]+[a^\dagger,a^\dagger a]=\\ &=\omega\left(a^\dagger[a, a]+[a,a^\dagger ]a+a^\dagger[a^\dagger,a]+[a^\dagger,a^\dagger ]a\right) \end{aligned}$$ wobei ich nur die algebraischen Eigenschaften von verwendet habe $[\cdot,\cdot]$.

Damit, wenn wir die einzelnen Kommutatoren kennen$[a,a]=[a^\dagger,a^\dagger]=0$Und$[a,a^\dagger]=1$wir können schreiben

$$\begin{aligned} i\dot X&=\omega(a-a^\dagger) \end{aligned}$$ und indem wir eine zweite Ableitung nehmen, erhalten wir $\ddot X+\omega^2X=0$, das heißt, wir finden die explizite Form (ODE) der Zeitentwicklung von $X(t)$.

Fazit: die Algebra von$a,a^\dagger$reicht aus, um den Kommutator vollständig anzugeben$H=\omega a^\dagger a$mit jedem Betreiber$\mathcal O(X,P)$, und daher reicht es aus, die zeitliche Entwicklung einer beliebigen Observable zu bestimmen. Dies wiederum bedeutet, dass, sobald wir wissen,$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$Und$[a^\dagger,a]$, kennen wir die Eigenwerte von$H$.

BEARBEITEN

Es gibt zwei Möglichkeiten, die einzuführen$a,a^\dagger$Betreiber.

1) Diracs Weg (wie in den meisten QM-Büchern zu finden): Wir gehen davon aus, dass es zwei Operatoren gibt$X,P$die wir als grundlegend nehmen und definieren

$$H=\frac12P^2+\frac12X^2$$ zusammen mit $[X,P]=i$. Daraus folgt die übliche Analyse (siehe z. B. hier , wo sie die Definition von motivieren $a$und diagonalisieren $H$).

Bei dieser Methode können alle Observablen als Polynome geschrieben werden$X$Und$P$, also als Polynome in$a,a^\dagger$.

2) Weinbergs Methode (siehe Weinberg I. für mehr Details): Wir gehen davon aus, dass es eine diskrete Basis gibt$|n\rangle$ $n=0,1,2,\dots$so dass irgendwelche$\psi$kann geschrieben werden als$|\psi\rangle= c_n|n\rangle$(implizite Summe). Dann können wir schreiben

$$a|n\rangle=|n-1\rangle\quad a^\dagger|n\rangle=|n+1\rangle$$ bis hin zu einer Normalisierung, und diese definiert den Operator$a$und seine Vertauschungsbeziehungen . Damit können wir jedem Betreiber nachweisen $\mathcal O$kann geschrieben werden als $$\mathcal O=o_0 \mathbb 1+o_i a^i+o_{ij}a^ia^j+o_{ijk}a^ia^ja^k$$ Wo $\{a^i\}=\{a,a^\dagger\}$und es gibt implizite Summen über wiederholte Indizes. Der Beweis dieses Satzes findet sich in W. I, aber die Bedeutung ist sehr einfach: Jeder Operator kann als Linearkombination von geschrieben werden $a,a^\dagger$.

In diesem Bild die Betreiber$a,a^\dagger$sind "fundamental", und wir können zum Beispiel definieren,$X=a+a^\dagger$. Nun, woher wissen wir das$H\propto a^\dagger a$? Nun, wir nicht. Aber WLOG können wir schreiben

$$H=h_1a+h_1^*a^\dagger+h_2 a^\dagger a+\text{cubic terms}+\dots$$ aber die Bedingungen mit $h_1$machen würden $H$unbegrenzt (wie man durch Auswertung sehen kann $\langle 1|H|0\rangle$), also müssen wir nehmen $h_1=0$. Das bedeutet, dass $H=\omega a^\dagger a$zuzüglich höherwertiger Konditionen. Diese Terme höherer Ordnung würden das EoM für $a$nichtlinear, was bedeutet, dass wir sie vernachlässigen müssen, wenn wir einen harmonischen Oszillator wollen (der per Definition linear ist).

Diese Analyse zeigt, wie wir den üblichen harmonischen Oszillator herleiten können, wenn wir das annehmen$a,a^\dagger$sind die fundamentalen Operatoren. Jedenfalls sollte klar sein, ob wir behandeln$a$als grundlegend oder abgeleitet, der Kommutator$[a,a^\dagger]$ist alles, was wir brauchen, um die Eigenwerte von zu finden$H$, weil diagonalisieren$H$ist dasselbe wie das Lösen der Zeitentwicklung, die wiederum gegeben ist durch$[\mathcal O,H]$. Wie in 1) und 2) können wir beliebig schreiben$\mathcal O$als Polynom in$a,a^\dagger$, sobald wir es wissen$[a,a^\dagger]$wir wissen$[\mathcal O,H]$für alle$\mathcal O$.