Bilden die Leiteroperatoren aaa und a†a†a^\dagger eine vollständige algebraische Basis?

Question

Bilden die Leiteroperatoren aaa und a†a†a^\dagger eine vollständige algebraische Basis?

Aharon Brodutch

Es ist einfach, jeden Operator (in kontinuierlichen Variablen) unter Verwendung des Satzes von Operatoren zu konstruieren

{| ℓ ⟩ ⟨ M |},

$\{|\ell\rangle\langle m |\},$ Wo

l

$l$ Und

m

$m$ ganze Zahlen sind und die Operatoren in der Fock-Basis dargestellt werden, also beliebige Operatoren

\hat{M}

$\hat M$ kann geschrieben werden als

\hat{M} = \sum_{ℓ, M} a_{ℓ, M} | ℓ ⟩ ⟨ M |

$\hat M=\sum_{\ell,m}\alpha_{\ell,m}|\ell\rangle\langle m |$ Wo

α_{ℓ, m}

$\alpha_{\ell,m}$ sind komplexe Koeffizienten. Meine Frage ist, können wir das gleiche mit dem Set machen

{A^{k} (A^{†})^{ℓ}} .

$\{a^k (a^\dagger)^\ell\}.$

Eigentlich läuft dies auf ein einziges Beispiel hinaus, das ausreichen würde. Können wir Koeffizienten finden? $\alpha_{k,\ell}$ so dass

| 0 ⟩ ⟨ 0 | = \sum_{k, ℓ} a_{k, ℓ} A^{k} (A^{†})^{ℓ} .

$|0\rangle\langle 0|=\sum_{k,\ell}\alpha_{k,\ell}a^k (a^\dagger)^\ell.$ (Hier

| 0 ⟩

$|0\rangle$ ist das Vakuum und ich nehme

a^{0} = I

$a^0=I$ )

Antworten (2)

Bilden die Leiteroperatoren aaa und a†a†a^\dagger eine vollständige algebraische Basis?

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Satz : beliebiger Operator $\mathcal O$ kann als Summe von Produkten von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedrückt werden:

\begin{matrix} (4.2.8) & Ö = \sum_{N, M \in N} (A^{†})^{N} (A)^{M} C_{N M} \end{matrix}

$\mathcal O=\sum_{n,m\in\mathbb N} (a^\dagger)^n(a)^m c_{nm}\tag{4.2.8}$ für einige Koeffizienten

c_{n m} \in C

$c_{nm}\in\mathbb C$ .

Dieser Satz kann auf die Feldtheorie verallgemeinert werden, wobei gilt: $a,a^\dagger$ werden durch kontinuierliche Parameter indiziert. Der Beweis des verallgemeinerten Theorems findet sich in ref.1.

Der Vollständigkeit halber skizzieren wir hier den Beweis. Wir gehen per Induktion vor. Gegeben $\mathcal O$ , legen wir fest

C_{00} := ⟨ 0 | Ö | 0 ⟩

$c_{00}:=\langle 0|\mathcal O|0\rangle$

Wir behaupten jetzt, dass, wenn wir in der Lage sind, zu beheben $c_{nm}$ für alle $(n,m)\leq(\ell,k)$ mit $(n,m)\neq (\ell,k)$ so dass $(4.2.8)$ gilt für alle Matrixelemente mit $n$ - Und $m$ -Teilchenzustände, dann können wir beheben $c_{\ell k}$ so dass das gleiche für die Matrixelemente mit gilt $\ell$ - Und $k$ -Teilchenzustände. Das ist leicht zu erkennen, denn Sandwiching $(4.2.8)$ zwischen $\langle \ell|$ Und $|k\rangle$ , wir bekommen

⟨ ℓ | Ö | k ⟩ = ℓ! k! C_{ℓ k} + Begriffe beinhalten C_{N M} mit (N, M) \leq (ℓ, k) Und (N, M) \neq (ℓ, k)

$\langle\ell|\mathcal O|k\rangle=\ell! k!c_{\ell k}+\text{terms involving $c_{nm}$ with $(n,m)\leq(\ell,k)$ and $(n,m)\neq(\ell,k)$}$ woraus die Behauptung folgt. Durch Induktion ist der Satz bewiesen.

\begin{matrix} ◻ \end{matrix}

$\tag*{$\square$}$

Verweise.

Weinberg - Quantentheorie der Felder , Bd.1, §4.2.

Warum ist die einzige nummerierte Gleichung in diesem Beitrag mit 4.2.8 nummeriert? o_O
@DanielSank Oh, ich habe einen persönlichen Code: Die vier bedeutet, dass ich glücklich war, als ich das schrieb; die beiden sind für 2Pac; und die Acht ist ein Geheimnis. (Die Gleichung wurde der Referenz entnommen und hat diese Nummer im Buch: i.imgur.com/bMEWTfl.png )

Kosmas Zachos · Answer 2

@Accidental erinnert Sie daran, dass dies ein Theorem ist. Um es tatsächlich in Ihren Begriffen zu sehen, verwenden Sie die unendliche Matrixdarstellung von $a, \quad a^\dagger$ of Messiah's classic QM, v 1, ChXII, § 5 . Insbesondere hat Ihr Vakuumprojektionsoperator eine 1 im 1,1-Eintrag und überall sonst Nullen.

Der Operator, den Sie gewählt haben, ist verrückt darzustellen, aber rein formal der Diagonaloperator $N\equiv a^\dagger a$ ,

| 0 ⟩ ⟨ 0 | = (1 + N) (1 - N) \frac{2 - N}{2} \frac{3 - N}{3} \frac{4 - N}{4} . . .

$|0\rangle\langle 0|=(1+N) (1-N) \frac{2-N}{2} \frac{3-N}{3} \frac{4-N}{4} ...$ würde den Trick machen, einmal Anti-Normal bestellt.

aber kann dieser „rein formale“ Ausdruck dem Operator im Sinne einer Norm oder Topologie beliebig nahe kommen, wenn wir mehr Terme in die Erweiterung aufnehmen?
Sie verlangen einen heimlichen Beweis aus einem formellen Witz? Die Faktoren sind alle Diagonalmatrizen. Wenn Sie bei m abschneiden, funktioniert es natürlich --- wenn Sie Ihrer normalen Reihenfolge vertraut haben. Aber dann werden Sie auf @Pisanty & Nahmad-Achar 2012 reduziert . Sicherlich eine andere Frage, oder?

Bilden die Leiteroperatoren aaa und a†a†a^\dagger eine vollständige algebraische Basis?

Aharon Brodutch

Antworten (2)

AccidentalFourierTransform

Daniel Sank

AccidentalFourierTransform

Kosmas Zachos

lurscher

Kosmas Zachos

Erstellen eines QM-Zustands einer bestimmten Position im Fock-Raum

Warum pendeln die Leiterbetreiber nicht?

Inwiefern ist das Pfadintegral eine eigenständige Formulierung der Quantenmechanik/Feldtheorie?

Bedeutung von "Vakuumzustand"?

Einfacher harmonischer Oszillator von Operatoren

Auf welche Zustände wirken Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren?

Wie verwendet man Leiteroperatoren?

Wie berechnet man die Ortseigenwerte der dem Ortsoperator entsprechenden Matrix?

Eigenzustände eines verschobenen harmonischen Oszillators

Nicht ganzzahlige Potenzen für die Leiteroperatoren des harmonischen Quantenoszillators und die Eindeutigkeit des Spektrums