Einfacher harmonischer Oszillator von Operatoren

Ich lese ein einfaches harmonisches Oszillatorproblem in "Modern Quantum Mechanics" von JJ Sakurai.
Der Ansatz besteht darin, die Vernichtung ( A T ) und Schöpfung ( A ) Operatoren, dann ist ein Zahlenoperator als Produkt zwischen diesen Operatoren definiert N = A T A . Auch ein Energie-Eigenket von N wird durch seinen Eigenwert bezeichnet N , das ist,

N | N ⟩ = N | N ⟩ .
Dann können wir finden
N A | N ⟩ = ( N − 1 ) A | N ⟩
und das Buch sagt, dass dies impliziert
A | N ⟩ = C | N − 1 ⟩ ,
Wo C eine numerische Konstante ist, das Problem ist, dass ich nicht verstehen kann, warum das wahr ist. Ich bin neu mit Diracs Notation, vielleicht ist das das Problem.

Antworten (3)

Deutlicher wird dies mit einigen Klammern:

N ( A | N ⟩ ) = ( N − 1 ) ( A | N ⟩ )

Seit N ergibt einen Eigenwert von ( N − 1 ) beim Betrieb auf den Staat A | N ⟩ , Dann A | N ⟩ muss ein Eigenzustand von sein N mit einem Eigenwert von ( N − 1 ) , auch bekannt | N − 1 ⟩ (ein Gesamtphasenfaktor/eine numerische Konstante C könnte auch in diesen Zustand aufgenommen werden, was von beiden Seiten aufgehoben würde).

Das Problem ist, ich kann nicht verstehen, warum das wahr ist

Aus deiner Gleichung 1 erhalten wir das:

N C | N − 1 ⟩ = ( N − 1 ) C | N − 1 ⟩

Deine Gleichung 2 lautet:

N A | N ⟩ = ( N − 1 ) A | N ⟩

Somit muss es das sein

A | N ⟩ = C | N − 1 ⟩

Deutlich sein, A ist ein Operator, der bei gegebenem Ket ein Ket zurückgibt, sodass wir so etwas schreiben könnten wie

| M ⟩ = A | N ⟩

und dann wird Ihre Gleichung 2

N | M ⟩ = ( N − 1 ) | M ⟩

was das impliziert | M ⟩ ist proportional zu | N − 1 ⟩ , dh,

| M ⟩ = C | N − 1 ⟩

Ihre Frage ist, warum der Eigenwert- N − 1 Eigenraum hat Dimension 1 . Seit wiederholter Anwendung von A kann den Eigenwert reduzieren, bis es ist 0 , während wiederholte Anwendung von A † den Eigenwert erhöhen kann, hat jeder Eigenraum die gleiche Dimension. Sie können diese Dimension leicht beweisen 1 im N = 0 Fall.

Wenn also der Eigenraum nicht die Dimension 1 hat, gilt die Gleichheit nicht, oder?
@AlbertoNavarro Aber es hat eine Dimension 1 . Können Sie das für den Eigenwert beweisen- 0 Eigenraum?
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