Beweisen Sie, dass exp(−βH)exp⁡(−βH)\exp(-\beta H) ein Spurklassenoperator für den harmonischen Oszillator ist

Beachten Sie das anhand der spektralen Zerlegung von$e^{-\beta H}$wir haben das

$$e^{-\beta H} \psi - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle-\sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle= \sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle$$ für jeden Vektor$\psi \in {\cal H}= L^2(\mathbb R,dx)$. Deshalb $$\left|\left|\left(e^{-\beta H} - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right| = \left|\left|\left(\sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right|\:.$$ Unter der$\sup$über der Menge der Einheitsvektoren auf beiden Seiten haben wir auch $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| = \left|\left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|\:,$$ aber seit$|| e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n||| = e^{-\beta (n+1/2)}|| |n\rangle \langle n|||= e^{-\beta (n+1/2)}$, bekommen wir auch $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left|\left|e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|= \sum_{n=N+1}^{+\infty}e^{-\beta (n+1/2)} = e^{-\beta/2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}(e^{-\beta})^n\to 0$$ Wenn$N\to +\infty$Weil $$\sum_{n=0}^{N}(e^{-\beta})^n \to \frac{1}{1-e^{-\beta}}\quad \mbox{if $N \to +\infty$}\:.$$ Deshalb$e^{-\beta H}$ist der Grenzwert einer Folge kompakter Operatoren in Bezug auf die einheitliche Operatortopologie $$A_N = \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|$$ $A_N$ist kompakt, weil sie von endlichem Rang ist . Dies ist ein Standardergebnis bei kompakten Operatoren. (Siehe Erklärung unten.)

Da ist das Ideal kompakter Operatoren eingeengt$\mathfrak B(\cal H)$in Bezug auf diese Topologie,$e^{-\beta H}$ist auch kompakt.

Kompaktheit endlichrangiger Operatoren . Kompaktheit für einen Bediener$T$, bedeutet, dass es die Einheitskugel in einen Satz umwandelt, dessen Verschluss kompakt ist. Wenn$Ran(T)$hat eine endliche Dimension, die Einheitskugel$B$wird an eine beschränkte Menge ($||T(B)|| \leq ||T|| 1$) in einem abgeschlossenen Unterraum, der identifiziert werden kann$\mathbb C^{\dim(Ran(T))}$. Da geschlossene begrenzte Sätze eintreten$\mathbb C^n$sind kompakt,$\overline{T(B)}$ist in diesem Raum kompakt. Die abstrakten Eigenschaften der Kompaktheit (eine Menge ist in einem topologischen Raum genau dann kompakt, wenn sie in einem sie enthaltenden subtopologischen Raum kompakt ist) implizieren dies$\overline{T(B)}$ist auch im gesamten Hilbertraum kompakt.

BEMERKUNG . Ich betone das

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!} \not \to e^{-\beta H}\quad \mbox{for $n \to +\infty$}$$ wenn die Grenze auf die einheitliche Topologie bezogen wird . Die Grenze gilt nur in der starken Operatortopologie , wenn der Definitionsbereich beider Seiten auf die Spanne von Vektoren beschränkt wird$|n\rangle$,aber zum Abschluss reicht es noch lange nicht. Insbesondere die Betreiber $$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!}$$ sind nicht kompakt, da sie nicht einmal beschränkt sind! Ihre Idee funktioniert also nicht so wie sie ist, aber sie muss wie von mir angegeben modifiziert werden.