Beziehung zwischen Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators in QM und zweiter Quantisierung

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Beziehung zwischen Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators in QM und zweiter Quantisierung

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Es ist bekannt, dass im elementaren QM die sogenannten Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren

A_{ich} = \frac{Q_{J} + ich P_{J}}{\sqrt{2}}, A_{ich}^{*} = \frac{Q_{J} - ich P_{J}}{\sqrt{2}},

$a_i = \frac{Q_j + i P_j }{\sqrt{2}}, \quad a_i^* = \frac{Q_j - i P_j }{\sqrt{2}},$

werden beim Studium eingeführt $n$ -dimensionaler harmonischer Oszillator, wo Operatoren $Q_j$ Und $P_j$ sind definiert durch

(Q_{J} ψ) (X) = X_{J} ψ (X), (P_{J} ψ) (X) = - ich ℏ \frac{\partial ψ}{\partial X_{J}} (X),

$(Q_j \psi) (x) = x_j \psi(x), \quad (P_j \psi) (x) = -i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x_j}(x),$

auf passenden Domains in $L^2(\mathbb{R}^n)$ , sagen wir den Schwartz-Raum $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ von glatten "schnell abfallenden" Funktionen. Sie sind also Operatoren $L^2(\mathbb{R}^n) \supset \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Im zweiten Quantisierungsformalismus haben wir jedoch Zerstörungs-/Erstellungsoperatoren, die auf den Fock-Raum wirken $\mathcal{F}(\mathfrak{h}) = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathfrak{h}^{\otimes^k}$ , Wo $\mathfrak{h}$ ist ein Ein-Teilchen-Hilbert-Raum, und sie sind als Operatorwertverteilungen definiert $\psi \to a(\psi), \psi \to a(\psi)^*$ , Wo $\psi \in \mathfrak{h}$ .

Gibt es eine Verbindung zwischen den beiden Begriffen, zB indem man den Hilbert-Raum als Ein-Teilchen-Raum genau nimmt $\mathfrak{h} = L^2({\mathbb{R}^n})$ , oder die Tatsache, dass sie denselben Namen haben, ist nur ein "Unfall"? Im ersten Fall habe ich versucht, die eigentliche Definition von Zerstörungs-/Erstellungsoperatoren in der zweiten Quantisierung für die harmonischen Oszillator-Eigenfunktionen (oder Hermite-Funktionen) auszunutzen. $\varphi_k$ durch Definieren $a_k \equiv a(\varphi_k)$ , aber ich denke, dieser Ansatz versagt kläglich, wenn ich nach einer Verbindung zwischen den beiden Definitionen suche ...

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Beziehung zwischen Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren des harmonischen Oszillators in QM und zweiter Quantisierung

Wooohooo · Answer 1

Meine Antwort ist vielleicht nicht ausreichend, aber ich hoffe, etwas Licht ins Dunkel zu bringen.

Ich habe versucht, die eigentliche Definition von Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren in der zweiten Quantisierung für die harmonischen Oszillator-Eigenfunktionen auszunutzen

Wenn wir über Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren sprechen, sprechen wir nicht über tatsächliche Teilchen, sondern über ein Quasiteilchen – Phononen.

Ich habe versucht, die eigentliche Definition von Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren in der zweiten Quantisierung für die harmonischen Oszillator-Eigenfunktionen (oder Hermite-Funktionen) φk auszunutzen, indem ich ak≡a(φk) definierte.

Ich denke, es ist möglich, diesen Ausdruck zu schreiben, aber nicht in Form von Hermite functions, da die Leiteroperatoren ausschließlich symbolisch sind.

... definiert als operatorwertige Verteilungen ψ→a(ψ),ψ→a(ψ)∗, wobei ψ∈h.

Nun, das ist keine Definition. Sie können tatsächlich zu dem Schluss kommen, dass ψ nicht pendelt. Das bedeutet, dass sie KEINE gewöhnlichen Funktionen oder Zustandsvektoren sind, sie MÜSSEN Operatoren sein. Diese Realisierung wird als zweite Quantisierung bezeichnet.

Ich habe in Second Quantization absichtlich eine sehr schlechte Definition von Zerstörungs-/Erzeugungsoperatoren gegeben, weil ich eigentlich (mehr oder weniger) mit ihnen vertraut bin und ich nicht zu explizit sein wollte. Was ich gefragt habe, ist, ob man die Leiteroperatoren des harmonischen Oszillators durch eine bestimmte Wahl von wiederherstellen kann $\mathfrak{h}$ (siehe Antwort von Yuggib unten). Übrigens danke für deine Antwort!

yuggib · Answer 2

Sie sind in der Tat Teil derselben allgemeinen Konstruktion, die als "Fock-Darstellung der kanonischen Kommutierungsbeziehungen" bezeichnet wird.

Der Fall der quantenmechanischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird durch Einstellung aus dem allgemeinen Fall herausgeholt $\mathfrak{h}=\mathbb{C}^n$ in OPs Definition des Fock-Raums. Tatsächlich ist es mathematisch unschwer zu erkennen, dass der resultierende Fockraum isomorph (im Sinne von Darstellungen kanonischer Kommutierungsbeziehungen) ist $L^2(\mathbb{R}^n)$ zusammen mit den üblichen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. (Der Fock-Vakuumvektor wird auf den Grundzustandsvektor des harmonischen Oszillators abgebildet)

Im allgemeinen Fall einer willkürlichen $\mathfrak{h}$ , wird eine Basis von Eigenvektoren des Zahlenoperators (des verallgemeinerten harmonischen Oszillators) ausgehend vom Vakuum durch sukzessive Wirkung eines der Erzeugungsoperatoren erhalten $a^*(e_n)$ , Wo $\{e_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ist eine orthonormale Basis von $\mathfrak{h}$ . (und wenn $\mathfrak{h}=\mathbb{C}$ dies ergibt genau die üblichen Hermite-Polynome)

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