Auf welche Zustände wirken Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren?

Der Fock-Raum ist als direkte Summe aller definiert N -Teilchen-Hilbert-Räume H N

F = H 0 ⊕ H 1 ⊕ H 2 ⊕ . . .

Wirken Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (in zweiter Quantisierung) auf Fock-Zustände oder auf Zustände, die Elemente der sind N -Teilchen-Hilbert-Räume H N ?

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Genauer gesagt zu meiner Frage: Let | Ψ 2 ⟩ ein Zustand sein, der zwei Teilchen beschreibt und somit ein Element von ist H 2 . So weit ich das verstehe, | Ψ 2 ⟩ ist kein Fock-Zustand, da ein allgemeiner Fock-Zustand so aussehen würde: | Ψ ⟩ = | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ | Ψ 2 ⟩ ⊕ . . .

Jetzt frage ich mich, ob Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren weiterwirken N -Teilchen-Hilbert-Räume, wie z H 2 oder auf Elementen des gesamten Fockraums.

Im ersten Fall C † : H N → H N + 1 gelten sollte, während im zweiten Fall C † : F → F sollte wahr sein.

Mich interessiert nur, auf welche Objekte diese Operatoren wirken.

Sie können auf jedem Zustand operieren, mit anderen Worten, auf jedem Element des gesamten Hilbert-Raums.
Gehe ich recht in der Annahme, dass jeder der H N enthält nur ein Element? Der Hilbert-Raum enthält jedoch auch alle möglichen Superpositionen aller verschiedenen Elemente. Daher ist es nicht wirklich gültig, ist als direkte Summe zu schreiben.
NEIN, H N soll der Hilbert-Raum von sein N Partikel und enthält daher alle möglichen N -Teilchenzustände.
OK, aber dann brauchen Sie einige andere Freiheitsgrade, um sie zu unterscheiden, was in Ihrer Notation nicht ersichtlich ist.

Antworten (1)

Jede H N ist ein Unterraum des Fock-Raums, wie Sie erkennen können | Ψ N ⟩ ∈ H N mit 0 ⊕ … ⊕ | Ψ N ⟩ ⊕ 0   ⊕ . . . ∈ F

Die Art und Weise, wie die Erstellungsoperatoren C † normalerweise definiert werden, ist die folgende: definieren Sie erste Operatoren C N † : H N → H N + 1 und definiere durch Linearität a C † : F → F von :

C † ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ N ⟩ ⊕ … ) = 0 ⊕ ( C 0 † | Ψ 0 ⟩ ) ⊕ ( C 1 † | Ψ 1 ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( C N † | Ψ N ⟩ ) ⊕ …

Bearbeiten: Angesichts eines Operators Ö : F → F , können wir seine Einschränkungen definieren Ö M : H M → F von :

Ö M | Ψ M ⟩ = Ö ( 0 ⊕ 0 ⊕ … ⊕ | Ψ M ⟩ ⊕ 0 ⊕ … ) ∈ F

Allgemein, Ö M | Ψ M ⟩ wird in niemandem liegen H N (dh es wird nicht die Form haben 0 ⊕ … ⊕ | Ψ N ⟩ ⊕ … , wie es bei Ö = C † ). Wir können jedoch Operatoren definieren Ö       M N : H M → H N von :

Ö M | Ψ M ⟩ = ( Ö       M 0 | Ψ M ⟩ ) ⊕ ( Ö       M 1 | Ψ M ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( Ö       M N | Ψ M ⟩ ) ⊕ …

Durch Linearität haben wir:

(1) Ö ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ N ⟩ ⊕ … ) = ( ∑ M Ö       M 0 | Ψ M ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( ∑ M Ö       M N | Ψ M ⟩ ) ⊕ …

Umgekehrt, gegeben eine Familie von Operatoren Ö       M N : H M → H N , Gleichung ( 1 ) definiert einen Operator Ö : F → F .

Gilt das auch für jeden anderen Operator, zB den Hamiltonoperator?
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