Wie wirken zweite Quantisierungsoperatoren auf Zustände "inkompatibler" Quantenzahlen?

In der Festkörperphysik könnten wir Systeme mit zweiter Quantisierung beschreiben und die Bloch-Basis für die Zustände des quantenmechanischen Systems verwenden. Zum Beispiel, um ein Elektron im Band zu erzeugen N bei k :

A N k † | 0 ⟩ = | N k ⟩

Meine Frage ist, wie würde ein allgemeiner Vernichtungsoperator A M k ' auf den Staat einwirken | N k ⟩ Wo N ≠ M und noch wichtiger k ' ≠ k ? Ganz klar der Spezialfall wo N = M Und k ' = k setzt das System zurück in den Vakuumzustand. Aber was ist mit anderen Staaten?

Dies lässt sich natürlich auf andere quantenmechanische Systeme verallgemeinern: Wie wirken die Vernichtungsoperatoren auf Zustände, die die entsprechenden Erzeugungsoperatoren nicht erzeugt haben?

Antworten (1)

Der Betreiber A M k ' funktioniert nur auf dem Zustand k' im m-Band. Wenn sich innerhalb dieses Bandes kein Elektron in diesem Zustand befindet, ist das Ergebnis 0. Das passiert, wenn ein Vernichtungsoperator auf einen leeren Zustand einwirkt (oder, in Ihren Worten, einen, den ein Erzeugungsoperator nicht erzeugt hat). Der Operator für Ihren n,k-Zustand wäre A N k

Bei der zweiten Quantisierung werden alle Operatoren als Paar von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren geschrieben. Der Besetzungszahloperator wird beispielsweise folgendermaßen geschrieben:

N R ^ = C R † C R
Beachten Sie, dass der Wert, den dieser Operator zurückgibt, 0 ist, wenn der Zustand unbesetzt ist, da der Vernichtungsoperator zuerst mit einem leeren Zustand arbeitet. Es gibt 1 zurück, wenn der Zustand besetzt ist. Beide Ergebnisse sind richtig.

Ah ja, jetzt sehe ich es. Wenn Sie zu einer Zahlenzustandsdarstellung wechseln, dann | N k ⟩ = | 0 , 0 , 0 , … , 1 , … , 0 , 0 , 0 ⟩ und der Vernichter, der auf einen anderen Zustand als den, in dem sich das Elektron befindet, einwirkt, lässt alles zusammenbrechen 0 .
Richtig! Sie haben wirklich nur einen Erstellungs- oder Vernichtungsoperator, sagen wir A N k und die tiefgestellten Indizes laufen über die Zahlen für die verfügbaren Bänder und Impulszustände.
Wie wirken zweite Quantisierungsoperatoren auf Zustände "inkompatibler" Quantenzahlen?
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