Raumübersetzung von Operatoren, Zuständen und Partikeldichten

Dies ist in der Tat verwirrend, da sich die Vorzeichen ändern, je nachdem, ob Sie auf Zustände oder auf Operatoren wirken.

Also, wenn Sie einen Staat haben$|\Psi\rangle$und bearbeiten Sie es mit der Übersetzung$U=e^{-ipa}$du erhältst

$$\langle x|e^{-ipa}|\Psi\rangle = e^{-a\frac d{dx}}\langle x|\Psi\rangle =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-a)^n}{n!}\frac{d^n\langle x|\Psi\rangle}{dx^n}=\langle x-a|\Psi\rangle.$$ (Hier habe ich die Relation implementiert $``p=-i\frac d{dx}\text'\text'$als seine strengere Form $\langle x|p=-i\frac d{dx}\langle x|$, was das Obige in die Form übersetzt $\langle x|e^{-ipa}=e^{-a\frac d{dx}}\langle x|=\langle x-a|$.)

Wenn Sie Erwartungswerte berücksichtigen, möchten Sie so etwas wie berechnen$\langle \Psi'|f(\hat x)|\Psi'\rangle$, Wo$f$ist eine beliebige Funktion (wobei der Übersichtlichkeit halber hier nur der Hut hinzugefügt wurde) und$|\Psi'\rangle=U|\Psi\rangle$. Ein solcher Erwartungswert kann geschrieben werden als

$$\langle\Psi|U^\dagger f(x)U|\Psi\rangle =\int\text dx\langle \Psi|U|x\rangle f(x)\langle x|U|\Psi\rangle=\int\text dx\langle \Psi|x-a\rangle f(x)\langle x-a|\Psi\rangle =\langle\Psi|f(x+a)|\Psi\rangle.$$ Das bekommt man auch aus der Operatoralgebra, was man richtig gemacht hat.

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Es gibt jedoch einen Umstand, in dem sich dies anders umwandelt. Wenn$\rho(x)$die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, dann sind damit eigentlich die Diagonalelemente der Dichtematrix gemeint,

$$\rho(x)=\rho(x,x)=\langle x|\Psi\rangle\langle\Psi|x\rangle.$$ In diesem Fall der Begriff $e^{ipa}\rho(x)e^{-ipa}$ist wirklich eine Abkürzung $U$wirken auf den Zustand, in der Position Basis gesehen, so dass $$e^{ipa}\rho(x)e^{-ipa} :=\langle x|U^\dagger|\Psi\rangle\langle\Psi|U|x\rangle =\langle x-a|\Psi\rangle\langle\Psi|x-a\rangle =\rho(x-a)$$ wie in Colemans Anspruch.

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Hinzugefügt:

Was Coleman tatsächlich tut, ist ähnlich wie oben, aber nicht ganz. Für ihn$\rho(x)$ist der Elektronendichteoperator an der Position$x$. Das bedeutet, dass$x$ist hier nur eine Zahl und$\rho(x)$ist ein Operator; Wenn er sagt, es sei "nur eine Delta-Funktion", meint er einen Ausdruck der Form

$$\rho(x)=\delta(\hat x-x),$$ oder eine Summe solcher Terme, wenn mehr als ein Elektron zu bewältigen ist. Meiner Ansicht nach verkompliziert dieser Delta-Funktionsausdruck die Dinge zu sehr, und dies kann viel einfacher ausgedrückt werden als $$\rho(x)=|x\rangle\langle x|$$ (oder eine Summe solcher Terme), die Sie oben durch Einfügen erhalten können $1=\int\text dx' |x'\rangle \langle x'|$.

Es ist jetzt klar, dass in diesem Fall$\rho(x)$muss sich als Zustand und nicht als Operator umwandeln. Sie können dies als sehen

$$\langle x'|e^{ipa}|x\rangle =\langle x'+a|x\rangle =\langle x'|x-a\rangle \quad\text{so}\quad e^{ipa}|x\rangle=|x-a\rangle,$$ und ähnlich auf dem Konjugat, oder Sie können es so sehen $\langle x|e^{-ipa}=\langle x-a|$links multipliziert mit seinem Konjugat.

Interessant ist der Zusammenhang mit obiger Rechnung: Coleman interessiert sich für die physikalische Größe$\langle \Psi|\rho(x)|\Psi\rangle$, und dies ist gleich den diagonalen Elementen der Dichtematrix,$\langle x|\Psi\rangle\langle \Psi|x\rangle$, die oben behandelt wird. Natürlich müssen sich beide Größen unter derselben Translation gleichermaßen transformieren.

Ich möchte der Antwort von Emilio Pisanty einige Präzisierungen hinzufügen und zeigen, dass Sie mit der Notation vorsichtig sein müssen$O(x)$, Wenn$O$ist ein Operator.

Die Übersetzung$x \to x'=x +a$, induziert eine Transformation im Zustandsraum, nämlich :

$$|\psi\rangle \to |\psi'\rangle = e^{-ia.P}|\psi\rangle \tag{1}$$

Dies entspricht der Transformation:

$$\langle x |\psi\rangle \to \langle x |\psi'\rangle = \langle x - a|\psi\rangle \tag{2}$$ Das ist :

$$\psi(x) \to \psi'(x) = \psi(x-a) \tag{2a}$$

Ein Operateur$O$verwandelt sich als:

$$O \to O' = e^{-ia.P} ~ O~e^{ia.P} \tag{3}$$ Sie können überprüfen, ob dies alles kohärent ist und dass das Objekt $O|\psi \rangle$verwandelt sich in einen Zustand.

Die Verwandlung$(3)$entspricht der Umformung:

$$\langle x |O| y\rangle \to \langle x |O'| y\rangle \tag{4} = \langle x -a |O| y -a\rangle$$ Das ist :

$$O(x,y) \to O'(x,y) = O(x-a,y-a)\tag{4a}$$

Wenn Sie nun Ihre erste Formel mit der Formel vergleichen$(3)$, sehen Sie eine Vorzeichenumkehrung, beginnend also mit Ihrer Formel (die einer Übersetzung entspricht$x \to x - a$), wir werden haben :

$$O(x,y) \to O'(x,y) = O(x+a,y+a)\tag{4b}$$ was für jeden Operator gilt, also auch für den Dichteoperator. Natürlich interessieren Sie sich vielleicht nur für die diagonalen Begriffe, mit $x=y$, aber es ist nur ein Sonderfall der Formel $4b$, das ist :

$$O(x,x) \to O'(x,x) = O(x+a,x+a)\tag{4b'}$$

Also, wenn Sie das alles verstehen, können Sie in einer kurzen Notation schreiben$O(x) = O(x,x)$, aber wenn Sie einige Schwierigkeiten haben, ist es besser, es nicht zu verwenden und Notationen zu verwenden$O,\langle x |O| y\rangle, O(x,y), O(x,x)$

Deine Rechnung ist also richtig.