Positionieren Sie den Operator im Impulsraum

Im Skript unserer Quantenmechanik-Klasse ist der Ortsoperator im Impulsraum ($\rvert p\rangle, \rvert q\rangle$sind Impulszustände) wird hergeleitet:

$\langle p \rvert \widehat{x}\lvert q\rangle = \int y \ \langle p \rvert y\rangle\langle y \rvert q\rangle\, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = \int \langle p \rvert y\rangle (-i\hbar \frac{\partial}{\partial q})\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{i\frac{qy}{\hbar}} \, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = (-i\hbar \frac{\partial}{\partial q}) \int \langle p \rvert y\rangle\langle y \rvert q\rangle\, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = (-i\hbar \frac{\partial}{\partial q})\langle p \rvert q\rangle = (-i\hbar \frac{\partial}{\partial q})\delta(p - q)$

Wobei wir die 1D-Wellenfunktion verwendet haben$\langle x\rvert p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{i\frac{px}{\hbar}}$.
Dieses Ergebnis wird dann zur Berechnung verwendet$\langle p\rvert \widehat{x}\rvert\psi\rangle$:
$\ $
$\langle p\rvert \widehat{x}\rvert\psi\rangle = \int \langle p \rvert \widehat{x} \rvert q\rangle\langle q \rvert \psi\rangle\, \mathrm{d}q$
$\hspace{1.5cm} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q} \int \delta(p-q) \langle q \rvert \psi\rangle \mathrm{d}q$
$\rightarrow \langle p\rvert \widehat{x}\rvert\psi\rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\langle p \rvert \psi \rangle$
$\ $
In Büchern und online fand ich jedoch die Beziehung mit umgekehrtem Vorzeichen:
$\langle p\rvert \widehat{x}\rvert\psi\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\langle p \rvert \psi \rangle$
Das scheint seltsam und wenn ich rechne$\langle p \rvert \widehat{x}\lvert q\rangle$Mit dem gleichen Verfahren, aber beim Einstecken der Wellenfunktion in die erste Klammer bekomme ich das richtige Zeichen:

$\langle p \rvert \widehat{x}\lvert q\rangle = \int y \ \langle p \rvert y\rangle\langle y \rvert q\rangle\, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = \int (i\hbar \frac{\partial}{\partial p})\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-i\frac{py}{\hbar}} \langle y \rvert q\rangle \, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = (i\hbar \frac{\partial}{\partial p}) \int \langle p \rvert y\rangle\langle y \rvert q\rangle\, \mathrm{d}y$
$\hspace{1.4cm} = (i\hbar \frac{\partial}{\partial p})\langle p \rvert q\rangle = (i\hbar \frac{\partial}{\partial p})\delta(p - q)$
Was mir dann gibt$\langle p\rvert \widehat{x}\rvert\psi\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\langle p \rvert \psi \rangle$wie erwartet.

Ich kann den Fehler in der Berechnung aus dem Skript nicht finden, aber ich glaube nicht, dass meine Berechnung und die aus dem Skript beide korrekt sein können. Ich vermute, dass wir irgendwann eine Konjugation durchführen müssten, vielleicht wenn die Ableitung aus dem Integral gezogen wird.
Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Edit: Tippfehler in meiner Berechnung korrigiert.