Free Boson Propagator und normale Bestellung

Nehmen wir ein 2d-freies Boson CFT wie auf Seite 27 von Schellekens Vorlesungsunterlagen : Ich habe die folgenden Fakten:

  1. Ich kann das (holomorphe Teil des) Feldes so erweitern
    φ ( z ) = Q ^ + ich P ^ Protokoll ⁡ ( z ) + ∑ N ≠ 0 a N N z − N ;
  2. Die nicht verschwindende Vertauschungsrelation sind
    [ Q ^ , P ^ ] = ich ; [ a N , a M ] = N δ M + N , 0 ;
  3. P ^ Und Q ^ sind hermitesche Operatoren (Schellekens sagt real );
  4. Vakuum | 0 ⟩ ist so definiert
    a N | 0 ⟩ = 0 = P ^ | 0 ⟩ ( N > 0 ) ;
  5. Seit [ P ^ , e k Q ^ ] = e k Q ^ Ich kann Impulszustände definieren
    | k ; 0 ⟩ = e k Q ^ | 0 ⟩ ,
    folglich kann ich betrachten Q ^ als Erstellungsoperator. Tatsächlich schreibt er in den obigen Vorlesungsnotizen

Wir definieren die normale Anordnung von P Und Q Sodass P ist immer rechts von Q .

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Ich möchte den Propagator wie in Abschnitt 2.5 berechnen. Wenn ich keine normale Reihenfolge verwende, gibt es einen Begriff

⟨ 0 | Q ^ 2 | 0 ⟩ ,

wenn ich expandiere φ ( z ) φ ( w ) und ich nehme die Q - Q Teil, den ich nicht beurteilen kann; insbesondere

  1. Er verwendet das normale Bestellverfahren Q ^ als Erstellungsoperator damit
    ⟨ 0 | Q ^ = 0 ,
    und er bekommt das richtige Ergebnis;
  2. Wenn es stimmt, dass ich hermitianisch bin, hätte ich es auch getan Q ^ | 0 ⟩ = 0 , aber dies scheint der Tatsache zu widersprechen, dass Q ^ ein Erstellungsoperator im Sinne von Punkt 5 ist.

Ich dachte, dass hermitische Operatoren keine Schöpfungs- oder Vernichtungsoperatoren sein könnten: wiederum aufgrund der Hermitizität, die ich haben würde

0 = ⟨ 0 | Q ^ P ^ | 0 ⟩ = ⟨ 0 | [ Q ^ , P ^ ] | 0 ⟩ + ⟨ 0 | P ^ Q ^ | 0 ⟩ = ich + ⟨ 0 | P ^ Q ^ | 0 ⟩ = ich

Wo liege ich falsch? Wie kann ich den Propagator nur mit dem üblichen Kommutatortrick berechnen (dh ⟨ 0 | P ^ Q ^ | 0 ⟩ = ⟨ 0 | Q ^ P ^ | 0 ⟩ + ⟨ 0 | [ P ^ , Q ^ ] | 0 ⟩ )?

Antworten (1)

  1. Beachten Sie zunächst die Oszillatormodi a ^ N ≠ 0 sind für die Frage von OP irrelevant, also lassen Sie uns sie der Einfachheit halber loswerden. Dann neben der Identität 1 , haben wir nur zwei unabhängige Operatoren Q ^ Und P ^ ∼ a ^ 0 , dh die Standard-Heisenberg-Algebra mit Nicht-Null- CCR s

    (1) [ Q ^ , P ^ ]   =   ich ℏ   1 .

  2. Jetzt die Wahl des BH-Vakuumstatus ⟨ 0 | , ket Vakuumzustand | 0 ⟩ , und normale Bestellung :   : sind nicht einzigartig, sondern müssen einige allgemeine Anforderungen erfüllen, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Jedoch,

    (2) ⟨ 0 | †   =   | 0 ⟩ ( ⟵ Generell falsch! )
    ist keine Voraussetzung. Jede Menge konsistenter Auswahlmöglichkeiten bildet ein sogenanntes Bild. Es gibt bijektive Umrechnungsformeln 1 zwischen verschiedenen Bildern. Es gibt a priori keinen Grund, warum nur ein Bild existieren sollte. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

  3. Für die Standard -Wick-Normal-Reihenfolge :   : die Bedingungen

    (3) ⟨ 0 | A ^ †     =     0     =     A ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     =     1 .
    ist eine natürliche Wahl, um die allgemeinen Anforderungen zu erfüllen. In diesem Fall ist Gl. (2) gilt. Hier sind die Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren definiert als
    (4) A ^   ≡   1 2 ( Q ^ + ich P ^ ) , A ^ †   ≡   1 2 ( Q ^ − ich P ^ ) , [ A ^ , A ^ † ]   =   ℏ   1 .

  4. Eine andere Wahl ist P ^ Q ^ -Bestellung :   : . Die Bedingungen

    (5) ⟨ 0 | P ^     =     0     =     Q ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     =     1 ,
    ist eine natürliche Wahl, um die allgemeinen Anforderungen zu erfüllen.

  5. Schellekens Normalordnung :   : ist bekannt als Q ^ P ^ -Bestellung. Er wählt dies, um eine einfache Beschreibung des Operators zu haben P ^ ∼ a ^ 0 . Die Bedingungen

    (6) ⟨ 0 | Q ^     =     0     =     P ^ | 0 ⟩ , ⟨ 0 | 0 ⟩     =     1 ,
    ist eine natürliche Wahl, um die allgemeinen Anforderungen zu erfüllen.

  6. Mit den Bedingungen (6) wird der BH Vakuumzustand ⟨ 0 | wird mit zu einem Ortseigenzustand Q = 0 , und der Ket-Vakuumzustand | 0 ⟩ wird mit zu einem Impuls-Eigenzustand P = 0 . Insbesondere in diesem Fall Gl. (2) kann nicht gelten.

  7. Es ist einfach, einen einschlägigen Begriff von kohärenten Zuständen im Rahmen von zu entwickeln Q ^ P ^ -Bestellung. Die kohärenten BH-Staaten

    (7) ⟨ Q |   :=   ⟨ 0 | exp ⁡ ( ich Q P ^ ℏ ) , ⟨ Q | Q ^   = ( 1 ) + ( 6 )   ⟨ Q | Q ,
    Positionszustände werden; und die kohärenten Ket-Zustände
    (8) | P ⟩   :=   exp ⁡ ( ich P Q ^ ℏ ) | 0 ⟩ , P ^ | P ⟩   = ( 1 ) + ( 6 )   P | P ⟩ ,
    Impulszustände werden.

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1 Man kann zB zeigen, dass der ket Vakuumzustand (6) im Q ^ P ^ ̂ -Ordnen ist ein gequetschter Zustand

| P = 0 ⟩     ∝     exp ⁡ ( ( A ^ † ) 2 2 ℏ ) | A = 0 ⟩
wrt. der Standard-Fock-Space-Ket-Vakuumzustand (3).

Ich sehe, dass es viele Möglichkeiten und Einschränkungen gibt, einen kohärenten Satz von {Vakuum, normalen Ordnungskonventionen, ...} aufzubauen, aber es scheint, dass ich in jedem Fall (dh in jedem System) sehr kämpfen muss, also 1 ) Gibt es einen axiomatischen Satz von Regeln, der es mir erlaubt, das Problem zu lösen (dh das richtige Rezept für die normale Ordnung zu finden), wenn ein System gegeben ist? (wenn nein, scheint mir, dass normales Ordnen im Allgemeinen ein nicht so rationaler Trick ist) 2) Wie werden diese axiomatischen Regeln in meinem speziellen Fall (freies Boson) angewendet? 3) Wie ist ⟨ 0 | ist definiert, wenn nicht | 0 ⟩ † ?
Vielen Dank für die klare Antwort. Aber es gibt immer noch einige obskure Aspekte: 1) Diese normale Bestelllösung scheint ziemlich ad hoc in dem Sinne zu sein, dass wir das richtige Ergebnis erhalten haben, aber ich kann keine allgemeine Begründung dahinter erkennen. Gibt es also angesichts einer Theorie ein Verfahren, das befolgt werden muss, um das richtige Ergebnis zu erhalten? 2) Für mich ist es immer noch rätselhaft warum ⟨ 0 | † ≠ | 0 ⟩ . Ich kann nicht verstehen, was das wahre physikalische Vakuum der Theorie ist. Können Sie das näher erläutern?
Vielen Dank ua für die Links. Bisher habe ich nur Bildwechseloperatoren im Zusammenhang mit Superstrings gesehen. Können Sie mir einige Referenzen geben, wie man sie entwickelt und allgemein anwendet? Ich würde gerne sehen, wie man das Bild theoretisch und praktisch ändert, um die bijektive Karte anzuwenden, auf die Sie sich bezogen haben. Normalerweise werden diese Dinge in Kursen weggelassen.
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Ein solcher Staat Q ^ | 0 ⟩ = 0 würde Colemans Theorem über die Nichtexistenz von SSB in 2d nicht verletzen?
Free Boson Propagator und normale Bestellung
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