Wicksches Theorem zur Berechnung von OPE

Ich versuche, eine Berechnung mit dem Satz von Wick zu verstehen. Lassen T ( z ) der analytische Teil eines Spannungs-Energie-Tensors sein, und ϕ ( z ) ein freies Bosonenfeld.

Jetzt,

T ( z ) ∂ w ϕ ( w ) = − 2 π : ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) : ∂ w ϕ ( w ) .
Mit dem Satz von Wick wissen wir das
: ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) : ∂ w ϕ ( w ) =: ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) : + 2 ⟨ ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) ⟩ : ∂ z ϕ ( z ) :
. Warum ist das dann gleich so
2 ⟨ ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) ⟩ ∂ z ϕ ( z ) ?
wie in vielen CFT-Büchern angegeben?

Nur um das klarzustellen, die CFT-Bücher sagen das nicht ganz. Was sie sagen, ist T ( z ) ∂ z ϕ ∼ − 2 π ⟨ ∂ z ϕ ∂ z ϕ ⟩ ∂ z ϕ . Das Entscheidende ist ∼ . ∼ unterscheidet sich von = bis zu nicht singulären Begriffen, wie @Qmechanic erklärt hat.
Ich denke, ich bin nur verwirrt darüber, was genau sollte T ( z ) ∂ z ϕ gleich der Verwendung von Wicks Theorem sein.
@Prahar: Ist der normal geordnete Term nicht Null, weil wir in OPEs implizit davon ausgehen, dass der Vakuumerwartungswert Null ist, oder liegt es daran, dass der Term kein Singular ist? Wie können Sie sagen, dass es kein Singular ist?
Der konforme normalgeordnete Term ist nur unter Vakuum-Erwartungswert endlich. Als Operator ist es nicht Null. Es ist per Definition nicht singulär - konforme Ordnung wird definiert, indem ein Operatorprodukt genommen und alle Singularitäten subtrahiert werden.
@Prahar: Ich glaube du hast mich missverstanden. Ich spreche von der : ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) : was wir im Ausdruck weggelassen wurde. Ist das nicht 0? Mit "konformer Bestellung" meinen Sie wahrscheinlich den Ausdruck darüber.
@Prahar: Korrigieren Sie mich auch, wenn ich falsch liege. Die LHS des Wick-Theorems hat eine Zeitreihenfolge oder eine radiale Reihenfolge, was auch immer der Fall ist, und im obigen Ausdruck: T ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) =: ∂ ‌ ​ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) : ∂ w ϕ ( w )
Ja. Die Zeitreihenfolge in Operator-Produkten ist nicht explizit geschrieben, wird aber verstanden.

Antworten (1)

Normal geordnete Nicht-Singular-Terme im OPE sind im Prinzip immer noch vorhanden, werden aber manchmal in der Notation weggelassen (und daher nur implizit impliziert). Denn viele wichtige physikalische Größen hängen nur von den singulären Termen der OPE ab.

Übrigens, wenn wir von implizit implizierten Dingen sprechen, beachten Sie, dass viele Autoren das radiale Ordnungssymbol nicht schreiben R ausdrücklich.

Ist der normal geordnete Term nicht Null, weil wir in OPEs implizit davon ausgehen, dass der Vakuum-Erwartungswert Null ist, oder liegt es daran, dass der Term kein Singular ist? Wie können Sie sagen, dass es kein Singular ist?
Korrigiert mich auch, wenn ich falsch liege. Die LHS des Wick-Theorems hat eine Zeitreihenfolge oder eine radiale Reihenfolge, was auch immer der Fall ist, und im obigen Ausdruck: T ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) ∂ w ϕ ( w ) =: ∂ z ϕ ( z ) ∂ z ϕ ( z ) : ∂ w ϕ ( w )
Die Relation von OP ist eine Operatoridentität, die (noch) nicht auf einen Ket-Vektor angewendet wird. Normalgeordnete Operatoren sind im Allgemeinen nicht Null.
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