Zur Asymptotik wechselwirkender Korrelationsfunktionen

Betrachten Sie eine interagierende QFT (z. B. im Zusammenhang mit den Wightman-Axiomen ). Lassen$G_2(x)$sei die Zweipunktfunktion eines Körpers$\phi(x)$:

$$G_2(x)=\langle \phi(x)\phi(0)\rangle$$

Frage : Was ist über das Verhalten von bekannt$G_2^{-1}(p)$bei$p\to\infty$? Gibt es eine Begrenzung für seine Wachstumsrate?

Es wäre schön, ein (nicht störungsfreies) Theorem für den allgemeinen Spin zu haben, aber falls dies nicht möglich ist, können Sie davon ausgehen$\phi(x)$ist skalar. Auch jeder Hinweis ist willkommen.

Einige Beispiele:

Ein freies Skalarfeld hat

$$G_2^{-1}(p)=p^2+\mathcal O(1)$$ während ein wechselwirkender, nach erster Ordnung in der Störungstheorie, hat $$G_2^{-1}(p)=cp^2+\mathcal O(\log p^2)$$ für einige $c>0$. Natürlich gibt es in der Störungstheorie große Logarithmen aller Ordnungen, und daher repräsentiert dieses Ergebnis nicht das Wahre $p\to\infty$Verhalten von $G_2(p)$. Man könnte im Prinzip die führenden Protokolle zu allen Ordnungen summieren, aber das Ergebnis, das störend ist, ist nicht das, wonach ich suche.

Ebenso hat ein freies Spinorfeld

$$G_2^{-1}(p)=\not p+\mathcal O(1)$$ während ein wechselwirkender, nach erster Ordnung in der Störungstheorie, hat $$G_2^{-1}(p)=c\not p+\mathcal O(\log p^2)$$ wie vorher.

Schließlich hat man ein freies massives Vektorfeld

$$G_2^{-1}(p)=\mathcal O(1)$$ während präturbative Interaktionen wie üblich Protokolle einführen. Es erscheint mir natürlich zu erwarten, dass das führende Verhalten ohne Störung durch die freie Theorie gegeben ist (die hat $G_2=p^{2(s-1)}$für Spin $s$), aber ich würde gerne etwas über das Sub-Leading-Verhalten in einer nicht störenden Umgebung wissen.

Update: Einheitlichkeit

Benutzer Andrew hat vorgeschlagen, dass man das optische Theorem verwenden kann, um der Abnahmerate der Zweipunktfunktion Grenzen zu setzen: zum Beispiel im Fall eines skalaren Felds, das wir haben

$$G_2^{-1}(p^2)\overset{p\to\infty}\ge \frac{c}{p^2}$$ für einige konstant $c$(siehe Andrews Link in den Kommentaren für die Quelle).

Ich bin mir nicht sicher, ob dies als asymptotisch für gilt$G_2$weil es nicht auf die Eigenschaften von angewiesen ist$G_2(x)$(noch$\phi(x)$), aber es ist nur eine Folge von$SS^\dagger=1$. Mit anderen Worten, wir verwenden nicht wirklich die Axiomatik der Felder, sondern die physikalische Forderung einer Einheit$S$Matrix. Soweit ich weiß, gibt es in AQFT wenig Hinweise auf Einheitlichkeit. Vielleicht verlange ich zu viel, aber ich habe das Gefühl, dass man viel über das sagen kann$n$-Punktfunktion der Theorie mit nur wenigen Axiomen, à la Wightman.

Tatsächlich glaube ich, dass es möglich ist, den Satz von Froissart zu verwenden , um engere Grenzen für den Zerfall der Zweipunktfunktionen zu erhalten, Grenzen, die restriktiver sind als die des optischen Satzes allein. Aber ich habe diese Alternative aus den gleichen Gründen wie oben nicht im Detail untersucht.