Lorentz-Transformation, implementiert durch einen nicht einheitlichen Operator.

Die Poincaré-Invarianz ist eine grundlegende Forderung der relativistischen (Quanten-)Physik. Insbesondere wenn$U_g : {\cal H} \to {\cal H}$repräsentiert die (nicht unbedingt lineare) Wirkung einer Poincaré-Transformation$g$auf (normalisierten) Vektoren$\psi$des Hilbertraums$\cal H$des betrachteten Systems müssen Übergangswahrscheinlichkeiten erhalten bleiben :

$$|\langle U_g(\psi) | U_g(\phi) \rangle|^2 = |\langle \psi | \phi \rangle|^2 \quad \forall \psi, \phi \in {\cal H}\:, ||\psi||=||\phi||=1\:. \quad (1)$$ Ein berühmter Satz von Wigner besagt, dass eine (bijektive) Abbildung vorliegt $U : {\cal H} \to {\cal H}$Verifizieren (1) muss notwendigerweise linear und einheitlich oder antilinear und antieinheitlich sein , abhängig von der physikalischen Natur der Transformation.

Über Darstellungen der Poincaré-Gruppe$\cal P$, per definitionem müssen sie zusätzlich zu (1)${\cal P} \ni g \mapsto U_g$mit$U_g U_h = U_{g\cdot h}$($^*$) Und$U_e = id$, Wo$\cdot$ist das Gruppenprodukt in$\cal P$, gerade im Hinblick auf die Definition der Gruppenrepräsentation. Im Prinzip jeder$U_g$muss einheitlich oder anti-einheitlich sein.

Wenn$g\in \cal P$gehört zur eigentlichen orthochronen Untergruppe${\cal P}_+^\uparrow$, es kann immer als zerlegt werden$g= h\cdot h$Wo$h$gehört immer noch zur gleichen Untergruppe. Deshalb$U_g= U_{h} U_{h}$, daher$U_g$muss einheitlich sein (auch wenn$U_h$ist anti-unitär, da die Zusammensetzung eines Paares anti-unitärer Operatoren immer unitär ist).

Wir schließen daraus, dass die orthochrone Poincaré-Gruppe${\cal P}_+^\uparrow$(und folglich die orthochrone Lorentzgruppe$SO(1,3)^\uparrow$) können in Quantentheorien nur dann durch einheitliche Operatoren dargestellt werden , wenn die Wirkung der Gruppe auf Zustände gerichtet ist .

Uneinheitliche Darstellungen entstehen, wenn die letzte Anforderung fallen gelassen wird. Zum Beispiel der Umgang mit Dirac- oder Weyl-Spinoren.

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($^*$) Eigentlich könnte eine Phase stattfinden, da Zustände durch normierte Vektoren bis hin zu Phasen dargestellt werden:$U_gU_h = e^{i\alpha(g,h)}U_{g\cdot h}$, ändert jedoch nichts am Ergebnis der weiteren Überlegung. Tatsächlich ist es möglich zu beweisen, dass stetige (projektive) einheitliche Darstellungen von${\cal P}_+^\uparrow$von solchen Phasen nicht betroffen sind, bilden andersartige Repräsentationen von Galileos Gruppe, wo diese Phasen eine entscheidende Rolle spielen.