Der Zeitentwicklungsoperator im Interaktionsbild kann geschrieben werden als:

$$U(t,t_{0})=e^{iH_{0}t}e^{-iH(t-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Damit können wir schreiben: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{2})}e^{-iH_{0}t_{2}}e^{iH_{0}t_{2}}e^{-iH(t_{2}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ So: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=U(t_{1},t_{0})$$

Aus der Tomonaga-Schwinger-Gleichung:

$$i\partial_{t}U(t,t_{0})=H_{I}(t)U(t,t_{0})$$ Wir können den Zeitentwicklungsoperator unter Verwendung der Anfangsbedingung schreiben $U(t_{0},t_{0})=1$: $$U(t,t_{0})=1-i\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})U(t_{1},t_{0})$$ Durch Iteration erhalten wir: $$U(t,t_{0})=1+(-i)\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})+(-i)^2\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})+(-i)^3\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int_{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})H_{I}(t_{3})+\dots$$ dh, $$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}(-i)^n\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})$$

$$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\mathcal{T}\left(H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})\right)$$ $$U(t,t_{0})=\mathcal{T}\exp\left(-i\int_{t_{0}}^{t}dt'H_{I}(t')\right)$$

Eine sehr intuitive Art, über das zeitlich geordnete Exponential nachzudenken, ist

$$U_{ba} = T \exp\left(-\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_2) \Delta t}\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} .$$ Dies gilt für $b \geq a$. $\Delta t$gleich $\frac{b-a}N$Und $t_k = a + k\Delta t$. (Ich bin mir nicht sicher, ob es in dem Buch von Schwartz so definiert ist, aber es macht Sinn, dass dies den richtigen Ausdruck für den Propagator geben würde.)

Ihre (7.49) ist jetzt sofort offensichtlich (für Physiker ;)). Um (7.47) zu bekommen, müssen wir das verstehen$U_{ab}$(für$b \geq a$) spätere Zeiten sind tatsächlich nicht auf der linken Seite. Stattdessen,

$$U_{ab} = \bar T \exp\left(-\mathrm i \int_b^a V(t) \, \mathrm dt \right) = \bar T \exp\left(\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} .$$ Hier, $\bar T$ist Anti-Zeit-Ordnung. Sie sehen sofort $U_{ab} = U_{ba}^\dagger = U_{ba}^{-1}$. Siehe zum Beispiel hier .

Schwartz ist schlampig. Denken Sie daran, dass die Zeitordnungsoperation an zusammenfallenden Raum-Zeit-Punkten singulär ist, sodass seine Manipulationen streng genommen alles andere als gerechtfertigt sind. Ihre Skepsis kommt nicht unerwartet. Aber seine Gleichungen stimmen trotzdem, trotz seines handgewellten Beweises.

Eine etwas überzeugendere Begründung lautet wie folgt:

Schreiben$H=H_0+V$, und lass

$$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\tag1$$

Es ist jetzt trivial, das zu beweisen$U(t,t_0)$erfüllt das gleiche Anfangswertproblem wie

$$\mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag2$$ und deshalb stimmen sie als Betreiber überein, $$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\equiv \mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag3$$

Von der Vertretung$(1)$Sie sollten in der Lage sein, die von Schwartz behaupteten Ergebnisse zu beweisen, ohne zeitlich geordnete Objekte manipulieren zu müssen. Dies sollte es Ihnen ermöglichen, seine Behauptungen mit etwas mehr Strenge und Zuversicht zu beweisen. Das überlasse ich Ihnen.

Weiterführende Literatur: Das meiste, was Sie wissen möchten, wird in Übung 9.5 in Srednickis Buch über QFT analysiert. Die detailliert ausgearbeitete Lösung finden Sie online.