Verbietet das Haagsche Theorem die Zeitentwicklung?

Die Antwort ist nein, Haags Theorem verhindert nicht die Zeitentwicklung im Heisenberg-Bild.

Bei jeder gegebenen Darstellung und jeder einheitlichen Transformation ergibt die Anwendung der letzteren auf die erstere eine einheitlich äquivalente Darstellung. Und wohldefinierte einheitliche Darstellungen existieren, solange wir zunächst eine wohldefinierte Formulierung verwenden. Insbesondere bei einer wohldefinierten Formulierung mit einem Hilbert-Raum, einer Algebra lokaler Operatoren und einem Hamilton-Operator$H$, können wir den unitären Zeitentwicklungsoperator verwenden$U(t)=\exp(-iHt)$ohne Probleme. Der Satz von Haag besagt, dass, wenn wir mit der Vakuumdarstellung in einem freien Skalarmodell beginnen, keine einheitliche Transformation die Vakuumdarstellung eines interagierenden Skalarmodells ergeben kann – zumindest nicht, wenn in unendlichem Volumen usw. gearbeitet wird; Einige Vorbehalte sind unten hervorgehoben. Das Interaktionsbild funktioniert also nicht, zumindest nicht in Bezug auf Operatoren, die auf Zustandsvektoren wirken, wieder mit einigen Einschränkungen, die unten hervorgehoben werden.

Was besagt der Satz von Haag?

Als Referenz wird Haags Satz auf Seite 12 in "Haags Satz in renormalisierten Quantenfeldtheorien" ( https://arxiv.org/abs/1602.00662 ) folgendermaßen ausgedrückt:

Satz von Haag. Wenn ein skalares Quantenfeld unitär äquivalent zu einem freien skalaren Quantenfeld ist, dann ist es aufgrund des Rekonstruktionssatzes auch ein freies Feld, weil alle Vakuum-Erwartungswerte zusammenfallen.

So wird es auf Seite 49 in derselben Abhandlung sorgfältiger ausgedrückt:

Satz 11.7 (Satz von Haag). Lassen$\varphi$Und$\varphi_0$zwei hermitesche Skalarfelder der Masse sein$m\geq 0$im Sinne des Wightman-Frameworks. Nehmen Sie die scharfen Zeitgrenzen an$\varphi(t,f)$Und$\varphi_0(t,f)$existieren und das zur Zeit$t = 0$diese beiden Sharp-Time-Felder bilden in ihren jeweiligen Hilbert-Räumen eine irreduzible Menge${\cal H}$Und${\cal H}_0$. Weiterhin sei ein Isomorphismus vorhanden$V:{\cal H}_0\rightarrow {\cal H}$so dass zur Zeit$t$,$\varphi(t,f)=V\varphi_0(t,f)V^{-1}$. Dann$\varphi$ist auch ein freies Massenfeld$m\geq 0$.

(Ich nehme das an$\varphi_0$bezeichnet ein freies Feld.) Beachten Sie, dass diese Aussagen des Satzes von Haag spezifisch für skalare Felder sind. Soweit ich weiß, wurde der Satz nie auf Modelle mit Eichfeldern verallgemeinert.

Keiner der oben gezeigten Ausschnitte sagt irgendetwas aus, was der Zeitentwicklung im Heisenberg-Bild widerspricht. Ein freies Skalarfeld bleibt frei (mit derselben Masse) unter Zeitentwicklung, und ein wechselwirkendes Skalarfeld bleibt wechselwirkend (mit derselben Masse und denselben Kopplungskonstanten) unter Zeitentwicklung. Der Satz von Haag verbietet also nicht die Zeitentwicklung.

Diesen Auszügen zufolge impliziert der Satz von Haag jedoch, dass ein Skalarfeld nicht frei beginnen und dann interagieren kann (oder umgekehrt), was bedeutet, dass das Wechselwirkungsbild nicht funktioniert – zumindest nicht unter dem die strengen Bedingungen des Satzes (die ich hier nicht kopiert habe), einschließlich der strengen Poincare-Symmetrie.

Satz 17.1 in derselben Arbeit hebt ein verwandtes Ergebnis hervor, das der Autor „Satz von Haag für freie Körper“ nennt. Der Satz besagt, dass zwei Modelle freier Skalarfelder mit unterschiedlichen Massen nicht einheitlich äquivalent sein können.

Übrigens kann der Satz von Haag aus zwei Gründen in der Praxis als irrelevant angesehen werden:

• Die einzigen bekannten mathematisch wohldefinierten Konstruktionen der meisten${}^{[1]}$Interagierende QFTs beinhalten die Behandlung des Raums (oder der Raumzeit) als endliches Gitter, aber Haags Theorem beruht auf der Poincare-Symmetrie oder zumindest auf einer unendlichen Volumengrenze.

• Wohldefinierte gitterbasierte Konstruktionen verwenden das Wechselwirkungsbild ohnehin nicht.

Normalerweise verwenden wir eine Gitterformulierung nicht explizit (weil sie chaotisch ist), aber sie ist in der modernen Sichtweise der Renormalisierung wichtig. Wir können uns die üblichen schlecht definierten Störungsberechnungen als bequeme Abkürzung für unordentliche, aber wohldefinierte Berechnungen auf einem endlichen Gitter vorstellen. Mit dieser Perspektive wird Haags Theorem im Wesentlichen irrelevant. Ähnliche Ansichten wurden in einem anderen Beitrag über Haags Theorem geäußert .

${}^{[1]}$In einem Kommentar wies Abdelmalek Abdesselam darauf hin, dass es Ausnahmen gibt: "Es gibt Modelle (in 2d und 3d), die im Kontinuum konstruiert sind und die Poincare-Invarianz erfüllen."