Kann jeder lineare, aber nicht einheitliche "Zeitentwicklungsoperator" auf einen einheitlichen normiert werden?

Ein Kommentar zu dieser Antwort auf eine andere Frage besagt

Ich würde mir vorstellen, dass ich für jeden linearen, nicht-einheitlichen Zeitentwicklungsoperator einen einheitlichen finden kann, der für jeden [physikalischen Zustand] die gleichen Erwartungswerte liefert, wodurch die nicht-einheitliche Zeitentwicklung mit manueller Normalisierung gleich der Einheitszeit wird Evolution mit Standardnormalisierung.

Ist das richtig?

Antworten (2)

Nein. Für einen bestimmten Anfangszustand | ψ 0 ⟩ , können wir den hypothetischen nicht einheitlichen, aber linearen Zeitentwicklungsoperator manuell normalisieren Ö ^ ( T ) so dass der manuell normalisierte Operator Ö ^ N ( T ) ≡ N ψ 0 ( T ) Ö ^ ( T ) erzeugt eine zeitlich entwickelte Trajektorie | ψ ( T ) ⟩ = Ö ^ N ( T ) | ψ 0 ⟩ mit konstanter Norm. Aber der entscheidende Punkt ist, dass die manuelle Normalisierungsfunktion N ψ 0 ( T ) hängt zwangsläufig vom jeweiligen Ausgangszustand ab | ψ 0 ⟩ ; Es gibt im Allgemeinen keine manuell normalisierte Version von Ö ^ ( T ) das die Norm entlang der Trajektorien für alle Anfangszustände beibehält, wie es ein unitärer Zeitentwicklungsoperator tut. Die Einheitlichkeit des Zeitentwicklungsoperators ist daher eine viel stärkere Anforderung als die bloße Linearität, und Sie können einen beliebigen linearen Zeitentwicklungsoperator nicht manuell auf einen Einheitsoperator normalisieren. (Beachten Sie jedoch, dass die physikalische Interpretation der Einheitlichkeit im projektiven Raumformalismus etwas unklar ist, wo physikalische Zustände keine Normen haben.)

Betrachten Sie als einfaches Beispiel den hypothetischen linearen, aber nicht einheitlichen Zeitentwicklungsoperator

Ö ^ ( T ) = ( 1 ich ω T 0 1 ) .

Diese Operatortrajektorie ist eine Lie-Gruppe mit einem Parameter, dh sie erfüllt die Kompositionseigenschaft Ö ^ ( T 2 ) Ö ^ ( T 1 ) = Ö ^ ( T 2 + T 1 ) . Es bewahrt die Norm des Anfangszustands ( 1 , 0 ) , also ist die manuelle Normalisierungsfunktion für diesen Anfangszustand trivial N ( T ) ≡ 1 . Aber der Operator skaliert die Norm des Anfangszustands ( 0 , 1 ) im Laufe der Zeit als 1 + ( ω T ) 2 , also ist die manuelle Normalisierungsfunktion für diesen Anfangszustand N ( T ) = 1 / 1 + ( ω T ) 2 . Du kannst nicht normalisieren Ö ^ ( T ) gleichzeitig die Norm beider Anfangszustände zu bewahren. (Im Zusammenhang damit der Erzeuger dieser Lie-Gruppe

ich D Ö ^ D T | T = 0 = ( 0 − 1 0 0 )
ist nicht hermitesch.)

Gegeben sei ein linearer (aber möglicherweise nicht unitärer) Zeitentwicklungsoperator Ö ^ ( T ) , "manuelle Normalisierung" würde bedeuten, die zeitliche Entwicklung zu berücksichtigen

| ψ ( T ) ⟩ = ⟨ ψ 0 | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | Ö ^ ( T ) † Ö ^ ( T ) | ψ 0 ⟩ Ö ^ ( T ) | ψ 0 ⟩ .
Es ist klar, dass diese Karte | ψ 0 ⟩ ↦ | ψ ( T ) ⟩ ist im Allgemeinen nichtlinear (außer wenn Ö ^ ( T ) † Ö ^ ( T ) ist ein Vielfaches der Identität). Mit anderen Worten, wir können die Normalisierung nur auf Kosten der Linearität "reparieren".

Tolle Antwort, aber es sollte sein
| ψ ( T ) ⟩ = ⟨ ψ 0 | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | Ö ^ ( T ) † Ö ^ ( T ) | ψ 0 ⟩ Ö ^ ( T ) | ψ 0 ⟩ .
Einheitliche Zeitentwicklung bedeutet konstante Norm, nicht Einheitsnorm (und Sie haben die Quadratwurzel vergessen).
@tparker Danke, ich habe die Quadratwurzel vergessen! Außerdem bin ich davon ausgegangen, dass der Anfangszustand normalisiert ist, um den Ausdruck zu vereinfachen, hätte das aber erwähnen sollen.
Respektvoll denke ich, dass die Annahme, dass | ψ 0 ⟩ normalisiert ist, bringt Ihre ganze Antwort durcheinander. Wenn Sie nur die Zeitentwicklungskarte für normalisiert angeben | ψ 0 ⟩ , dann gibt es keine Möglichkeit zu bewerten, ob diese Karte linear ist oder nicht - was der springende Punkt Ihrer Antwort ist -, da eine lineare Kombination normalisierter Kets im Allgemeinen nicht normalisiert ist. (Tatsächlich scheint Ihre Formel oberflächlich nichtlinear zu sein, auch wenn Ö † Ö = 1 .) Ich denke, dass Sie die allgemeine Karte angeben müssen, damit Ihre Antwort wirklich Sinn ergibt.
@tparker Ich habe die Übersichtskarte hinzugefügt, da ist sie definitiv nicht falsch. Ich möchte aber noch einen Kommentar hinzufügen. Lassen H ∼ sei der Raum physikalischer (dh normalisierter) Zustände. Es macht in der Tat Sinn, darüber zu diskutieren, ob eine Karte X ^ : H ∼ → H ist linear: Das erfordert es X ^ ( a ϕ 1 + β ϕ 2 ) = a X ^ ( ϕ 1 ) + β X ^ ( ϕ 2 ) für | a | 2 + | β | 2 = 1 . Die Verletzung dieser Bedingung ist hier imo der entscheidende Punkt. Wenn sie erfüllt ist, kann die Abbildung trivial zu einer linearen Abbildung erweitert werden H → H durch Addition des Normierungsfaktors.
Das stimmt mathematisch, aber es ist sehr umständlich, zu verlangen, dass jeder Zustand eine normalisierte Phase durchläuft, bevor lineare Kombinationen vorgenommen werden können, wenn wir uns eine alternative Theorie zur Quantenmechanik vorstellen, in der die Zeitentwicklung nicht einheitlich ist. Es kann einige Unklarheiten in der Reihenfolge der Operationen geben, ob Sie vor oder nach der Einnahme linearer Kombinationen normalisieren. Ich habe nicht viel darüber nachgedacht. Es scheint mir nur, dass wir, wenn die Zeitentwicklung nicht einheitlich ist, etwas vorsichtiger sein müssen, wenn es darum geht, "physikalisch" und "normalisiert" gleichzusetzen.
Bei nicht einheitlicher Zeitentwicklung erscheint es viel natürlicher, den Zustand unnormalisiert zu lassen und den Normalisierungsschritt auf die Extraktion von Observablen zu verlagern: ⟨ Ö ⟩ = ⟨ ψ | Ö | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ . Das ist sowieso die natürlichere Konzeptualisierung in QFT und wenn man sich einen Zustand als (einzigartiges) Element eines projektiven Hilbert-Raums anstelle eines (nicht eindeutigen) Elements eines Hilbert-Raums vorstellt.
Kann jeder lineare, aber nicht einheitliche "Zeitentwicklungsoperator" auf einen einheitlichen normiert werden?
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