Quantenmechanische Operatoren im Argument einer Exponentialfunktion

Beginnen mit:

$$U(t,t_i) = e^{\frac{-i}{\hbar }H(t-t_i)}$$

Wenn$t_i=0$:

$$U(t,0) = e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}$$

Verwendung der Identität:$\sum\limits_i \left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|=\mathbb{I}$

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Da die Exponentialfunktion eines Operators ist (durch Taylor-Erweiterung):$e^H=\mathbb{I}+H+\frac{1}{2}H^2+\dots$

Und:$H\left| \lambda_i \right> =\lambda_i \left| \lambda_i \right>$

Das solltest du sehen können:

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }\lambda_it}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die$|\lambda_i\rangle$orthonormal sein. Beachten Sie, dass der Hamiltonian nach dem Spektralsatz wie folgt geschrieben werden kann:

$$H = \sum_i \lambda_i P_i, \qquad P_i = |\lambda_i\rangle\langle \lambda_i|$$ Jeder Betreiber $P_i$ist ein Projektor auf den von aufgespannten Unterraum $|\lambda_i\rangle$. Beachten Sie insbesondere das $$P_i^2 = P_i, \qquad P_iP_j = P_jP_i = 0$$ und ein mathematisches Induktionsargument gibt $$P_i^n = P_i$$ für alle $n\geq 1$. Lassen Sie nun der Einfachheit halber $$\mu = -\frac{i}{\hbar}t$$ Dann haben wir $$U(t,0) = e^{\mu H} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\mu^nH^n$$ Beachten Sie jedoch, dass wir unter Verwendung der oben beschriebenen Eigenschaften von Projektionsoperatoren haben $$H^n = \sum_{i_1, \dots, i_n}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n}P_{i_1}\cdots P_{i_n} = \sum_i\lambda_i^nP_i$$ und deshalb $$U(t,0) = \sum_i\sum_n\frac{1}{n!}(\mu\lambda_i)^nP_i = \sum_ie^{\mu\lambda_i}P_i$$ wie gewünscht.