Die Äquivalenz zwischen Heisenberg- und Schrödinger-Bildern

Ich werde versuchen, es so einfach und intuitiv wie möglich zu machen. Im Schrödinger-Bild der Erwartungswert eines gegebenen Operators$\hat{\xi}$(die selbst in der Zeit eingefroren ist) ist wie folgt definiert (mit$\psi(t)$die Wellenfunktion unseres Systems zur Zeit$t$):

$$\langle \hat{\xi} (t) \rangle = \langle \psi (t) \lvert \hat{\xi} \rvert \psi(t) \rangle$$

Welches ist nur der Durchschnittswert der entsprechenden Observable$\hat{\xi}$wenn zur Zeit eine Messung durchgeführt wird$t.$Nun, gerade weil der Erwartungswert eine direkte Verbindung herstellt zwischen dem, was wir mit unserer Theorie in der QM vorhersagen, und dem, was wir experimentell beobachten, dann sollten wir logischerweise, wie auch immer man die Quantenmechanik definiert, die gleichen Werte erhalten$\langle \hat{\xi} (t) \rangle$um sicherzustellen, dass wir die korrekten experimentell erwarteten Werte vorhersagen (und daher behaupten können, dass die beiden Bilder äquivalent sind).

Um diese Äquivalenz zu zeigen, verwenden wir zunächst eine wichtige Eigenschaft des unitären Zeitentwicklungsoperators, nämlich

$$\psi(t_1) = \hat{U}(t_1,t_0) \psi(t_0)$$

dh wir propagieren unsere Wellenfunktion in der Zeit wirkend$\hat{U}$darauf. Damit können wir nun die Wellenfunktion zeitlich neu definieren$t$als seinen Zeitwert$t=0$auf denen wir handeln$\hat{U}(t,0).$Also schreiben wir (durch eine einfache Substitution) unseren ursprünglichen Ausdruck für um$\langle \hat{\xi} (t) \rangle$als:

$$\langle \psi (t) \lvert \hat{\xi} \rvert \psi(t) \rangle = \langle \psi (0) \lvert \hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi} \hat{U}(t,0)\rvert \psi(0) \rangle$$ Aus dem Obigen können Sie bereits die Wahlfreiheit erkennen, d. h. zu entscheiden, ob die Zeitoperatoren entweder auf die Wellenfunktionen oder auf den Operator wirken sollen, indem wir letzteres wählen, erhalten wir:

$$\langle \psi (0) \lvert \left(\hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi} \hat{U}(t,0)\right)\rvert \psi(0) \rangle = \langle \psi (0) \lvert \hat{\xi}(t) \rvert \psi(0) \rangle$$ Daher haben wir erfolgreich gezeigt, dass die Zeitabhängigkeit auch in den Operatoren anstelle von Wellenfunktionen implementiert werden kann, während wir die gleichen Erwartungswerte für unsere gewählte Observable erhalten, also lass uns anrufen $\psi(0) = \psi_h$mit $h$für Heisenberg und ähnlich $\hat{\xi}(t) = \hat{\xi}_h(t).$Mit dieser Notation können Sie dann den Operator im Schrödinger-Bild leicht mit dem des Heisenberg-Bildes in Beziehung setzen, indem Sie:

$$\hat{\xi}_h(t)=\hat{U}^{\dagger}(t,0) \hat{\xi}_{\rm Schrödinger} \hat{U}(t,0)$$ Schließlich können Sie von hier aus direkt den Ausdruck der Heisenbergschen Bewegungsgleichung erhalten (obwohl Sie nicht danach gefragt haben, aber wir sind den ganzen Weg gekommen, können Sie es auch zeigen ...):

Nehmen Sie die Zeitableitung von$\hat{\xi}_h(t)$(unter Verwendung der zuletzt abgeleiteten Gleichung) und unter Verwendung der Beziehung$d\hat{U}/dt=-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}$(und auch das$[\hat{H},\hat{U}]=0$):

$$\begin{align*} \frac{d\hat{\xi}_h (t)}{dt} &= \frac{d\hat{U}^{\dagger}}{dt} \hat{\xi} \hat{U} + \hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}\frac{d\hat{U}}{dt} \\ &= \frac{-1}{i\hbar}(\hat{U}^{\dagger}\hat{H}\hat{\xi}\hat{U}-\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}\hat{H}\hat{U})\\ &=\frac{1}{i\hbar}[\hat{\xi}_h (t),\hat{H}]. \end{align*}$$

Über ihre Nichtäquivalenz. Ja, das ist größtenteils ein Folklore-Ergebnis. Es gibt viele Möglichkeiten, wie sie nicht äquivalent sein können. Ein paar Beispiele

https://arxiv.org/abs/1404.6775

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0375960102015086

https://arxiv.org/abs/0706.3867

Allgemeiner behandelt das Heisenberg-Bild in gekrümmten Raumzeiten alle Koordinaten gleich, während das Schrödinger-Bild als Voraussetzung hat, dass es eine universelle Zeitvariable gibt, in Bezug auf die sich Zustände entwickeln. Es kann sein, dass es keine grundlegende Inkonsistenz gibt oder (wenn es eine gibt) es zu einer grundlegenden Inkonsistenz kommen kann. Tatsächlich ist das Problem der Zeit selbst genau diese Widersprüchlichkeit: ein Beweis durch Widerspruch, dass die Bedingung falsch ist und dass daher überhaupt kein Schrödinger-Bild existiert. Sie sind also in dieser Einstellung nicht gleichwertig.

Die formale Äquivalenz der beiden Bilder vernachlässigt auch die halbe Grundlage der Quantentheorie selbst. Es gibt nicht nur ein, sondern zwei von Neumann-Postulate zu berücksichtigen: das Evolutionspostulat (Zustände entwickeln sich gemäß der Schrödinger-Gleichung) und das Projektionspostulat (ein Zustand bei der Messung hustet einen Eigenwert aus und kollabiert zu einem Eigenzustand gemäß der Bornschen Regel). . Es scheint, dass jeder dieses andere Postulat immer wieder vergisst.

Die Äquivalenz des Bildes gilt nur für das erste Postulat. Die Heisenberg-Bildversion der Evolution sind natürlich die Heisenberg-Gleichungen. Es gibt keine Äquivalenz zwischen den beiden Bildern für das zweite Postulat – weil es überhaupt keine Heisenberg-Bild-Version der Geborenen Regel gibt! Wenn Sie versuchen, eine zu formulieren, werden Sie eine interessante neue Infrastruktur entdecken, die im Schrödinger-Bild nicht vorhanden ist, die jedoch erforderlich ist, um mehrere Anwendungen der Born Rule im Heisenberg-Bild richtig zu handhaben. Darin enthalten ist ein distinguiertes „Jetzt“ und ein ihm gegenüber fließendes Zeitgefühl. Aber der „Fluss“ ist nicht innerhalb des Postulats der Evolution; vielmehr stammt es aus dem Projektionspostulat!

Die Frage, was die Born Rule ist und wie sie zu handhaben, zu interpretieren, zu erklären oder wegzuerklären ist, ist der Kernpunkt des sogenannten Messproblems. Die unterschiedlichen Antworten auf diese Frage führen dann zu den unterschiedlichen Interpretationen der Quantentheorie (Bohm, Many Minds, Many Worlds, Consistent Histories, Physical Collapse, die jeweils durch die Analysen der Dekohärenz eingefädelt werden können).

Auch hier klafft eine Lücke. Dieselbe Frage, die der Born Rule gestellt wurde, wird nun an jeden ihrer mutmaßlichen Ersetzungen weitergegeben: Was ist die Version von Heisenberg Picture? Und gibt es überhaupt einen? Zum Beispiel: Viele Welten und Bohm.

Vorbemerkungen Erinnern Sie sich, dass eine Darstellung einer Algebra auf einem Hilbert-Raum eine Abbildung von der Algebra zu den beschränkten Operatoren auf einem bestimmten Hilbert-Raum ist. Erinnern Sie sich auch an die kanonischen Vertauschungsbeziehungen von Heisenberg

$$[q_i,p_k]=i\delta_{ik}I$$ Eine Darstellung solcher Beziehungen ist eine Menge von Operatoren auf einem Hilbert-Raum, die dieselben Kommutierungsbeziehungen erfüllen. Ein typisches Beispiel ist die Schrödinger-Darstellung, die in einer Dimension durch den Multiplikationsoperator realisiert wird $q=M_s$und der Differenzierungsoperator $p=-i\frac{\text d}{\text ds}$auf dem Hilbertraum $L^2(\mathbb R)$mit Lebesgue-Maß.

Die Äquivalenz der verschiedenen Bilder ist eine Folge des Eindeutigkeitssatzes von Neumann, der besagt, dass jede irreduzible Darstellung der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelationen einheitlich äquivalent zur Schrödinger-Darstellung ist. Wenn Sie also mit Heisenbergs Matrizenmechanik beginnen, das heißt, Sie nehmen an, dass Sie eine Darstellung durch (unendliche) Matrizen der kanonischen Kommutierungsbeziehungen haben, dann gibt es eine Einheit, die die Aktion dieser Matrizen über einen gewissen Hilbert-Raum in die Aktion "übersetzt". der Schrödinger-Operatoren$q$Und$p=-i\hbar\nabla_q$auf dem Hilbertraum$L^2(\mathbb R^n)$mit Lebesgue-Maß. Der Ort, an dem sich diese beiden unterschiedlichen Bilder treffen, ist die Dirac-Notation mit BHs und Kets. Eine Möglichkeit, dies tatsächlich zu beweisen, ist a la Dirac-Dixmier, bei der das Spektrum des harmonischen Quantenoszillators untersucht und bewiesen wird, dass der Hamilton-Operator als Folge des Nelson-Kriteriums im Wesentlichen selbstadjungiert ist.

Die grobe Idee hinter dem Ergebnis ist, dass die Eindeutigkeit der Schrödinger-Darstellung ungefähr aus der Tatsache folgt, dass die aus dem Weyl-Operator stammende Weyl-Algebra isomorph zur C*-Algebra kompakter Operatoren auf einem unendlichdimensionalen trennbaren Hilbert-Raum ist, der bekannt ist nur eine Klasse einheitlicher Äquivalenz irreduzibler Darstellungen zu haben. Dies kann unter Verwendung der magischen positiven Typfunktion auf der Heisenberg-Gruppe konstruiert werden

$$\phi(z,t)=e^{-\frac{\Vert z\Vert^2}4+it},\qquad(z,t)\in\mathbb C^n\ltimes\mathbb R.$$