Zeitabhängigkeit des Erwartungswerts O^O^\hat O wenn ∂O^∂t=0∂O^∂t=0\frac{\partial \hat O}{\partial t} = 0

In meinen Vorlesungen wird mir folgende Herleitung gegeben:

∂ ∂ T ⟨ Ö ^ ⟩ = ∂ ∂ T ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ Ö ^   ψ   D X

⟹ ∂ ∂ T ⟨ Ö ^ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ T ( ψ ∗ Ö ^   ψ )   D X

⟹ ∂ ∂ T ⟨ Ö ^ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ∂ ψ ∗ ∂ T   Ö ^   ψ   D X + ∫ − ∞ ∞ ψ ∗   Ö ^   ∂ ψ ∂ T   D X

Was für mich keinen Sinn ergibt. Ö ^ Und ∂ ∂ T sind beide lineare Operatoren, und für das am weitesten rechts stehende Integral in der letzten Zeile oben lautet die Implikation.

∂ ∂ T ( Ö ^   ψ ) = Ö ^   ∂ ψ ∂ T

Was im Allgemeinen für zwei lineare Karten impliziert S Und T bzw. Anwendung auf Vektor ψ im Vektorraum H Das

( S   ∘   T ) ( ψ ) = ( T   ∘   S ) ( ψ )
was meines Wissens nicht stimmt. Die einzige Situation, in der es vielleicht wahr sein könnte, ist, wenn sie inverse Abbildungen voneinander sind, aber diese Ausnahme kann die Ableitung im Allgemeinen nicht beweisen, die sie beabsichtigt.

Was ist denn hier los? Ist es weil

∂ ∂ T ( Ö ^   ψ ) = ∂ Ö ^ ∂ T ψ + Ö ^ ∂ ψ ∂ T

Wenn ja, nehme ich an, dass dies wahr ist, obwohl ich im Allgemeinen das Konzept von finde ∂ Ö ^ ∂ T generell komisch wenn Ö ^ wird nicht angewendet ψ oder irgendwas.

Ich denke, sie haben angenommen, dass der Operator keine explizite Zeitabhängigkeit in der Positionsdarstellung hat (in der Sie zu arbeiten scheinen). Daher die Kommutierung. Auch im Bild von Schrödinger werden die Operatoren nicht mit der Zeit geändert.

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Was ist denn hier los? Ist es weil

∂ ∂ T ( Ö ^ ψ ) = ∂ Ö ^ ∂ T ψ + Ö ^ ∂ ψ ∂ T

Ja, das ist richtig.

Wenn ich Sie richtig verstehe, sind Sie besorgt über den Begriff der Ableitung eines Operators in Bezug auf einen Parameter (in diesem Fall die Zeit). Es ist eigentlich so ziemlich das, was Sie erwarten würden; wenn ein Betreiber Ö ^ hängt von einigen Parametern ab σ , dann können wir seine Ableitung formal definieren (einwirkend auf einen Zustand ψ ) sein

( ∂ Ö ^ ∂ σ ) ψ := lim ϵ → 0 Ö ^ ( σ + ϵ ) ψ − Ö ^ ( σ ) ψ ϵ
Das ist vernünftig, weil Ö ^ kann man sich als lineare Karte vorstellen Ö ^ : R → L ( H ) (von den reellen Zahlen zu den linearen Operatoren auf dem Hilbert-Raum H ), also erfolgt die Differenzierung ziemlich genau wie bei Ihren Standardfunktionen einer reellen Variablen.

Der Definitionsbereich der Ableitung ist offensichtlich eine Teilmenge des Definitionsbereichs von Ö ^ für die die Grenze besteht, was von Betreiber zu Betreiber entschieden werden muss.

Wenn Sie sich fragen, welche Arten von Operatoren eine so explizite Zeitabhängigkeit haben könnten, sollten Sie sich vielleicht auf den Satz von Stone über einheitliche Gruppen mit einem Parameter beziehen . Als weiteres Beispiel können Sie den adiabatischen Satz betrachten , der langsam variierende Potentiale betrifft.

Zeitabhängigkeit des Erwartungswerts O^O^\hat O wenn ∂O^∂t=0∂O^∂t=0\frac{\partial \hat O}{\partial t} = 0
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