Wie ist der Hamiltonoperator ein hermitescher Operator?

In meinem Buch über Quantenmechanik heißt es, dass der Hamiltonian, definiert als

H = ich ℏ ∂ ∂ t
ist ein hermitescher Operator. Aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich das interpretieren soll. Zunächst einmal: Von welchem ​​zu welchem ​​Raum arbeitet dieser Operator? Sie definieren einen Vektorraum namens "Wellenfunktionsraum". F " die alle quadratintegrierbaren Funktionen enthält, die stetig und unendlich differenzierbar (und überall definiert) sind. Aber es scheint mir, dass, wenn die Hamiltonsche Funktion auf diesem Raum wirkt, es nicht notwendigerweise wahr ist, dass das Bild eines zufälligen Vektors von F ist wieder drin F .

Ich denke in der Tat, dass es einige Vektoren gibt F so dass der Hamiltonian dieser Vektoren kein Element von ist F (damit es sich nicht um einen Endomorphismus handelt F ). Und wenn der Hamiltonian hermitesch sein muss, muss er ein Endomorphismus auf einem Raum sein.

Definieren wir stattdessen den Vektorraum v , das ist derselbe Raum wie F Aber wo Funktionen nicht quadratisch integrierbar sein müssen, ist der Hamiltonian ein Endomorphismus (also dachte ich zuerst, das wäre die Lösung). Aber jetzt funktioniert das innere Produkt

< f , g >= ∫ − ∞ ∞ d x   f ∗ g
was gut definiert wurde F weil das Integral immer existiert, wenn f und g sind Funktion von F , ist nicht mehr richtig definiert.

Ich hoffe, jemand kann klären, wie ich diesen Operator interpretieren muss (dieselbe Frage gilt tatsächlich für einige andere Operatoren).

Kommentar zur Frage (v1): Die Formel H = ich ℏ ∂ ∂ t ist nicht allgemeingültig, insbesondere keine Definition, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Für eine mathematisch rigorose Formulierung von QM benötigt man den Begriff manipulierter Hilbert-Räume . Die meisten Physiker, die QM als Werkzeug zum Verständnis der Natur verwenden, versuchen jedoch normalerweise nicht, zu streng zu sein (ich selbst habe die Wiki-Seite, auf die ich mich bezog, nie gelesen:).

Antworten (4)

Die allgemeine Situation ist die folgende. Es gibt einen selbstadjungierten Operator H : D ( H ) → H , mit D ( H ) ⊂ H ein dichter linearer Unterraum des Hilbert-Raums H . (Ein elementarer Fall ist H = L 2 ( R , d x ) , aber das Folgende gilt allgemein für jeden komplexen Hilbertraum H einem quantenphysikalischen System zugeordnet.)

Es stellt sich heraus, dass D ( H ) = H dann und nur dann, wenn H begrenzt ist (es passiert insbesondere, wenn H ist endlichdimensional).

Physikalisch gesehen H ist genau dann beschränkt, wenn die Werte, die die entsprechende Observable (die Energie des Systems) erreichen, eine beschränkte Menge bilden, so dass dies in konkreten physikalischen Fällen kaum vorkommt. D ( H ) ist fast immer eine richtige Teilmenge von H .

Wenn ψ ∈ H stellt einen (reinen) Zustand des Systems dar, dessen zeitliche Entwicklung durch gegeben ist

(1) ψ t = e − ich t ℏ H ψ .
Die Exponentialfunktion wird über das Spektraltheorem definiert. Die Karte R ∋ t ↦ e − ich t ℏ H ψ ist immer stetig bezogen auf die Topologie von H . Außerdem ist sie genau dann differenzierbar, wenn ψ t ∈ D ( H ) (es ist gleichbedeutend damit zu sagen ψ ∈ D ( H ) ). In diesem Fall beweist man (Theorem von Stone)
d ψ t d t = − ich 1 ℏ H e − ich t ℏ H ψ = − ich ℏ H ψ t .
Mit anderen Worten,
(2) ich ℏ d ψ t d t = H ψ t .
Das sollte klar sein d d t ist kein Operator auf H , da es auf Kurven wirkt R ∋ t ↦ ψ t statt Vektoren.
d ψ t d t = lim s → 0 1 s ( ψ t + s − ψ t )
und die Grenze wird in Bezug auf die Hilbert-Raumnorm berechnet. Identität (2) gilt genau dann, wenn ψ ∈ D ( H ) und nicht allgemein.

NACHTRAG .

Identitäten oder gar Definitionen (!) wie

(3) H = ich ℏ d d t .
ergibt keinen Sinn. Eine Observable in der QM ist zunächst einmal ein Operator (selbstadjungiert) auf dem Hilbertraum H der Theorie. Mit anderen Worten, es ist eine lineare Karte EIN Assoziieren eines gegebenen Vektors ψ ∈ H (oder eine geeignete Domäne) zu einem anderen Vektor EIN ψ . Wenn ψ ein gegebener einzelner Vektor von ist H - und keine Kurve t ↦ ψ t - das formale Objekt
d d t ψ
hat überhaupt keine Bedeutung, da es nicht berechnet werden kann! Daher fragt man sich, ob oder nicht H , "definiert" durch (3), hermitesch ist wiederum nicht sinnvoll, weil die RHS von (3) kein Operator in ist H .

Die konkrete Definition von H kann gegeben werden, sobald das physikalische System bekannt ist, und einige weitere physikalische Prinzipien wie eine angenommene Übereinstimmung zwischen klassischen Observablen und Quantenobservablen oder gruppentheoretische Annahmen über die Symmetrien des Systems nutzen.

Für nichtrelativistische Elementarsysteme beschrieben in L 2 ( R 3 ) , hat der Hamilton-Operator die Form der (hoffentlich einzigartigen) selbstadjungierten Erweiterung des symmetrischen Operators

H := − ℏ 2 2 m Δ + v ( x → )
Das ist die Definition von H .

Trotzdem ist die Schrödinger-Gleichung (2) immer gültig, unabhängig von den spezifischen Merkmalen des Quantensystems (sogar relativistisch), wenn ψ ∈ D ( H ) . Die Zeitentwicklung wird jedoch immer durch (1) beschrieben, unabhängig von einem Domänenproblem.

Kurz gesagt, Sie haben die Form des Hamilton-Operators aus Gleichung 1 abgeleitet, anstatt umgekehrt, was konventioneller ist. In jedem Fall ist es körperlich nicht sehr motiviert.
Nein, habe ich nicht. In meiner Antwort gibt es keine explizite Form des Hamiltonian. Es gibt überhaupt keine Definition des Hamiltonoperators. Ich bestehe darauf, dass H = ich d / d t ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik ein Unsinn. Es ist einfach eine verworrene Vorstellung. Die explizite Form des Hamilton-Operators wird erhalten, indem Details zu dem betrachteten spezifischen physikalischen System hinzugefügt werden. Zum Beispiel in der nichtrelativistischen QM für ein einzelnes Teilchen in R 3 , H ist die (hoffentlich einzigartige) selbstadjungierte Erweiterung von − ℏ 2 2 m Δ x → + v ( x → ) .

Möglicherweise finden Sie einige pathologische Beispiele dafür, warum Operatoren in der Quantenmechanik nicht hermitesch sind, aber diese sind nicht physikalisch. Das ist Physik, die Mathematik muss zwangsläufig etwas skizzenhaft sein. Sie könnten daran interessiert sein, dies für einige interessante mathematische Probleme/Überraschungen mit der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik zu lesen: http://lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/9907069v2.pdf

Wenn der Hamiltonian hermitesch ist, bildet die Eigenfunktion eine Basis des Raums der quadrierten integrierbaren Funktion. Die Wirkung von H auf jede Funktion bleibt also auf dem quadrierten integrierbaren Funktionsraum.

Wie Sie sagten, funktioniert die von Ihnen angegebene Gleichung nur im "Wellenfunktionsraum". Solange Sie sich mit Wellenfunktionen befassen, können Sie das Objekt, auf das Ihre Ableitung wirkt, immer zerlegen

∫ d ω 2 π f ~ ( ω ) e ich ω t
Ihre Ableitung wird also einen Faktor von ziehen ich ω aus dem Exponential. Die allgemeine Form ist immer noch eine Überlagerung ebener Wellen und daher immer noch in F , und der Betreiber ich ℏ d d t ist selbstadjungiert.

Ich möchte hinzufügen, dass ich solche Argumentationen nicht besonders mag, aber ich verstehe, warum viele Autoren und Dozenten sie zuerst verwenden, bevor sie die abstraktere, aber klarere Dirac-Notation einführen.
Sind Sie sicher, dass dies das beweist? ich h d d t ist hermitesch? Ich weiß, dass der Hamiltonian pseudo-hermitesch sein kann und H = ich h d d t gilt nach wie vor aus der Schrödinger-Gleichung.
Entschuldigung, völlig falsch. ich d / d t kein Operator auf dem Hilbert-Raum des Systems ist . Der Hamilton-Operator ist es nicht ich ℏ ∂ / ∂ t .
Wie ist der Hamiltonoperator ein hermitescher Operator?
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