Zeitentwicklung mit einem zeitabhängigen Hamiltonian [geschlossen]

Tatsächlich ist Ihnen in diesem speziellen Fall etwas geholfen, da die Zeitabhängigkeit in einem Term enthalten ist, der proportional zur Einheitsmatrix ist

$$\hat H = E_0e^{t/\omega_0}\hat I + E_1\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array}\right) \, .$$ Sie können dann den zeitunabhängigen Basiswechsel mit definieren $$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&-1\end{array}\right)$$ das wird dauern $\hat H$Zu $$\hat h= U^{-1}\cdot \hat H \cdot U= \left(\begin{array}{cc} e^{t/\omega_0}E_0+E_1& 0 \\ 0&e^{t/\omega_0}E_0-E_1 \end{array}\right)$$ Die Schrödinger-Gleichung für jede Komponente in dieser Basis ist entkoppelt und hat die Form: $$i\hbar \frac{d}{dt}\vert\phi_{\pm}(t)\rangle = \left(e^{t/\omega_0}E_0\pm E_1\right)\vert\phi_{\pm}(t)\rangle$$ mit Lösung $$\vert \phi_{\pm}(t)\rangle=C_\pm e^{-i(\pm E_1 t +e^{t/\omega_0}E_0\omega_0)/\hbar}$$ und Sie können zur ursprünglichen Basis zurückkehren. Sie können überprüfen, ob diese Lösung NICHT der Form entspricht $e^{-i t H/\hbar}$gerade weil, wie von @EmilioPisanty bemerkt, $U(t)=e^{-i t H/\hbar}$gilt nur für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren.

Die Identität$\hat{U} = e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t}$gilt nur für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator, der hier nicht gilt. Stattdessen ist der Propagator hier durch die zeitlich geordnete Exponentialfunktion gegeben$\hat{U}(t_2,t_1) = \mathcal T \left[e^{- \frac{i}{\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \hat{H}(t) \mathrm d t}\right]$, was in dieser Situation nicht besonders nützlich ist.

In Ihrer Situation haben Sie nur noch sehr wenige Möglichkeiten, außer der direkten Lösung der gekoppelten Schrödinger-Gleichungen.

$$\begin{align} i\hbar \dot a(t) & = E_0e^{t/w_0} a(t) + E_1 b(t), \\ i\hbar \dot b(t) & = E_1 a(t) + E_0e^{t/w_0} b(t). \end{align}$$ Dieser ist schwer zu lösen, aber Sie können mit der Einstellung beginnen $E_1=0$, dann beides $a$Und $b$der Differentialgleichung gehorchen $$i\hbar \dot c(t) = E_0e^{t/w_0} c(t),$$ dessen Lösung ist $$c(t)= c(0)e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar},$$ Sie können also darauf fahren und definieren $a(t) = \alpha(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$Und $b(t) = \beta(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$, für die sich die Schrödinger-Gleichung zu vereinfacht $$\begin{align} i\hbar \dot \alpha(t) & =E_1 \beta(t) , \\ i\hbar \dot \beta(t) & = E_1 \alpha(t) , \end{align}$$ deren Lösungen sind $$\begin{align} \alpha(t) & = \alpha(0) \cos(E_1t/\hbar) -i \beta(0) \sin(E_1t/\hbar)\\ \beta(t) & = -i\alpha(0) \sin(E_1t/\hbar) + \beta(0) \cos(E_1t/\hbar). \end{align}$$ Alles darüber hinaus hängt davon ab, was Sie mit diesen Lösungen machen wollen.