Zeitentwicklung der Wellenfunktion in der QM

Question

Zeitentwicklung der Wellenfunktion in der QM

Physik
hamiltonisch
Zeitentwicklung
Quantenmechanik
Hausaufgaben-und-Übungen

Rick Pan

Vor kurzem habe ich Quantendynamik mit Sakurais moderner Quantenmechanik studiert, aber ich bin verwirrt darüber, warum der Zeitentwicklungsoperator so geschrieben wird

U (T, T_{0}) = \exp [\frac{- ich H (T - T_{0})}{ℏ}]

$U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ für zeitunabhängigen Hamiltonoperator, während

U (T, T_{0}) = \exp [- (\frac{ich}{ℏ}) \int_{T_{0}}^{T} D T^{'} H (T^{'})]

$U(t,t_0)=\exp\left[-\left(\frac{i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^tdt'H(t')\right]$ für zeitabhängig (Pendelfall). Mein Gedanke ist das, da wir die Wellenfunktion bei Taylor entwickeln können

t = t_{0}

$t=t_0$

\begin{aligned} ψ (X, T) & = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} ({(\frac{\partial}{\partial T})}^{N} ψ (X, T) |_{T = T_{0}}) (T - T_{0})^{N} \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} ({(\frac{- ich H}{ℏ})}^{N} ψ (X, T)) (T - T_{0})^{N} \\ = e^{\frac{- ich H (T - T_{0})}{ℏ}} ψ (X, T) \end{aligned}

$\begin{align}\psi(x,t)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n\psi(x,t)\bigg|_{t=t_0}\right) (t-t_0)^n\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n\psi(x,t)\right)(t-t_0)^n\\ &=e^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}\psi(x,t) \end{align}$

wir müssen nur den Wert von kennen $H$ bei $t=t_0$ . Wenn das stimmt, dann $U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ halten sollte, ob $H$ zeitabhängig ist oder nicht. Was habe ich hier falsch gemacht?

Daniel Sank

Wo bekommt man das her

n^{th}

$n^\text{th}$ Derivat ist

(- i H / ℏ)^{n}

$(-i H / \hbar)^n$ ?

Rick Pan

Seit

H ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ

$H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , wir haben

H = i ℏ \frac{\partial}{\partial t}

$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , Dann

{(\frac{- i H}{ℏ})}^{n} = {(\frac{\partial}{\partial t})}^{n}

$\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, danke.

Ján Lalinský

@Rick Pan, die Gleichung für die Ableitung

\partial_{t} ψ = 1 / (i ℏ) H ψ

$\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ gilt nur für

ψ

$\psi$ . Es gilt nicht unbedingt für seine Derivate.

Rick Pan

@JánLalinský Danke für den Kommentar. Wenn wir davon ausgehen, dass die Eigenzustände von

H

$H$ eine vollständige Basis bildet, dann sollten wir in der Lage sein, seine Derivate mit der vollständigen Basis zu erweitern. Wenn dies der Fall ist, sollte die Beziehung auch für seine Derivate gelten, oder?

Ján Lalinský

@RickPan, nein, die Beziehung gilt nicht, weil Yuggib darauf hingewiesen hat - die Expansionskoeffizienten sind auch Funktionen der Zeit. Kanonischer Impulsoperator

p_{x}

$p_x$ ist immer ausdrückbar als

- i ℏ \partial_{x}

$-i\hbar\partial_x$ , unabhängig von der Funktion

ψ

$\psi$ kann sein, aber der Hamiltonoperator ist nicht immer gegeben durch

i ℏ \partial_{t}

$i\hbar\partial_t$ ; es gilt nur für spezielle Funktionen - Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.

Antworten (1)

Zeitentwicklung der Wellenfunktion in der QM

Wo bekommt man das her $n^\text{th}$ Derivat ist $(-i H / \hbar)^n$ ?
Seit $H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , wir haben $H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , Dann $\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, danke.
@Rick Pan, die Gleichung für die Ableitung $\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ gilt nur für $\psi$ . Es gilt nicht unbedingt für seine Derivate.
@JánLalinský Danke für den Kommentar. Wenn wir davon ausgehen, dass die Eigenzustände von $H$ eine vollständige Basis bildet, dann sollten wir in der Lage sein, seine Derivate mit der vollständigen Basis zu erweitern. Wenn dies der Fall ist, sollte die Beziehung auch für seine Derivate gelten, oder?
@RickPan, nein, die Beziehung gilt nicht, weil Yuggib darauf hingewiesen hat - die Expansionskoeffizienten sind auch Funktionen der Zeit. Kanonischer Impulsoperator $p_x$ ist immer ausdrückbar als $-i\hbar\partial_x$ , unabhängig von der Funktion $\psi$ kann sein, aber der Hamiltonoperator ist nicht immer gegeben durch $i\hbar\partial_t$ ; es gilt nur für spezielle Funktionen - Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.

yuggib · Answer 1

yuggib

Die erste Bemerkung ist, dass es Ihnen auf strenger Ebene nicht erlaubt ist, all diese Manipulationen frei vorzunehmen. Nehmen wir jedoch für einen Moment an, Sie würden es tun, denn alles ist äußerst regelmäßig und brav.

Die (ausgelassene) Ausgangshypothese ist die

ich \partial_{T} ψ (T) = H (T) ψ (T) .

$i\partial_t\psi(t)=H(t)\psi(t)\; .$ Wenn wir die Ableitung iterieren, erhalten wir nicht einfach

H (t)^{2} ψ (t)

$H(t)^2\psi(t)$ , sondern (das ist eine einfache Anwendung der Produktregel, die auch in diesem Fall tatsächlich funktioniert)

(ich \partial_{T})^{2} ψ (T) = ich \dot{H} (T) ψ (T) + H (T)^{2} ψ (T) .

$(i\partial_t)^2\psi(t)=i\dot{H}(t)\psi(t)+H(t)^2\psi(t)\; .$ Wie wir leicht sehen können, geht hier das Argument des OP schief, da die Ableitung von

H (t)

$H(t)$ verschwindet im Allgemeinen für zeitabhängige Operatoren nicht.

Ich möchte jedoch noch einmal darauf hinweisen, dass dies nicht die richtige Art ist, mit dieser Art von zeitabhängigen Gleichungen umzugehen. Der richtige Weg ist jedoch sehr kompliziert und erfordert viel fortgeschrittene Funktionsanalyse. Wenn Sie neugierig sind, die gebräuchlichste Methode stammt von T.Kato und kann zB in diesem Buch gefunden werden .

Rick Pan

Danke für die Antwort, aber ich bin gespannt, ob wir erweitern

\partial_{t} ψ

$\partial_t \psi$ mit Eigenzuständen von

H

$H$ (von dem normalerweise angenommen wird, dass es eine vollständige Basis bildet), bekommen wir nicht

H^{2} ψ = (i \partial_{t})^{2} ψ

$H^2\psi=(i\partial_t)^2 \psi$ ?

yuggib

Sie könnten Eigenzustände nur für einen festen verwenden

t

$t$ , aber sie wären im Allgemeinen keine Eigenzustände für einen anderen

t^{'} \neq t

$t'\neq t$ (seit

H (t^{'}) \neq H (t)

$H(t')\neq H(t)$ ) und auch keine Eigenzustände für

\dot{H} (t)

$\dot{H}(t)$ . Das ist wirklich nicht die richtige Art, darüber nachzudenken... ;-)

Rick Pan

Danke für die Antwort. Es ist wahr, dass sich Eigenzustände bzgl. ändern können

t

$t$ , aber ich erweitere die Serie um eine feste

t

$t$ , wie ist das nicht anwendbar?

yuggib

Lassen

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ ein Eigenvektor von sein

H (t)

$H(t)$ ; jedoch in der Erweiterung, die Sie haben

\dot{H} (t) ψ_{n, t}

$\dot{H}(t)\psi_{n,t}$ , Und

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ ist kein Eigenvektor dafür.

Rick Pan

Was, wenn wir überlegen

H^{2} ψ = H (i \partial_{t} ψ) = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H^2\psi=H(i\partial_t\psi)=i\partial_t(i\partial_t\psi)$ , warum ist das falsch?

yuggib

Warum um alles in der Welt würde

H

$H$ gleich der zeitlichen Ableitung sein? Die Zeitableitung ist nur ein abgekürzter Ausdruck für

\partial_{t} ψ (t) = lim_{h \to 0} h^{- 1} (ψ (t + h) - ψ (t))

$\partial_t \psi(t)=\lim_{h\to 0}h^{-1}(\psi(t+h)-\psi(t))$ (sofern das Limit existiert). Eine Familie

(H (t))_{t \in R}

$(H(t))_{t\in\mathbb{R}}$ ist eine Familie von selbstadjungierten Operatoren. In Ihrer ersten Gleichheit verwenden Sie nur die Eigenschaft, die wir annehmen

ψ (t)

$\psi(t)$ Lösung einer Differentialgleichung sein, nämlich

i \partial_{t} ψ = H ψ

$i\partial_t\psi=H\psi$ . Das bedeutet nun aber keineswegs

i \partial_{t} ψ

$i\partial_t\psi$ wäre auch eine Lösung der gleichen Gleichung.

Rick Pan

Lassen

i \partial_{t} ψ = \sum c_{k} ψ_{k}

$i\partial_t\psi=\sum c_k \psi_k$ Wo

ψ_{k}

$\psi_k$ sind Eigenvektoren von

H

$H$ (durch Vollständigkeit der Eigenzustände). Dann

H (i \partial_{t} ψ) = \sum c_{k} H ψ_{k} = \sum c_{k} (i \partial_{t}) ψ_{k} = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H(i\partial_t\psi)=\sum c_k H \psi_k=\sum c_k (i\partial_t)\psi_k=i\partial_t(i\partial_t \psi)$ . Habe ich etwas falsch gemacht?

yuggib

@ RickPan Ja, denn im Allgemeinen zeitabhängig

H (t)

$H(t)$ , die Koeffizienten

c_{k}

$c_k$ würde sowohl von der Zeit als auch von den Funktionen abhängen

ψ_{k}

$\psi_k$ ...glauben Sie mir, das ist nicht wahr/richtig ;-)

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