Problem mit der Dirac-Notation und dem Satz von Ehrenfest

Der Satz von Ehrenfest besagt in einer Gestalt (ohne Hüte für Vektoren) für geeignete Operatoren A

(1) D D T ⟨ A ⟩   =   ⟨ ∂ A ∂ T ⟩ + ⟨ [ A , H ] ich ℏ ⟩

und eine " unmittelbare" Konsequenz ist, dass durch Einfügen des Ortsoperators x für A in den Satz unter Verwendung von P für den Impulsoperator

(1a) D D T ⟨ X ⟩   =   ⟨ P M ⟩ .

Ich ignorierte die linke Seite von (1), argumentierte ich (Weglassen der Testfunktion in Erwartungswerten)

⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ [ X , H ] ich ℏ ⟩ =   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ X H − H X ich ℏ ⟩ =   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ X H ich ℏ ⟩   −   ⟨ H X ich ℏ ⟩ =   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ X H ich ℏ ⟩   −   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩
und so

(2) D D T ⟨ X ⟩   =   ⟨ X H ich ℏ ⟩ ,

wovon ich mich überzeugen kann, ist wahr.

Verwenden Sie andererseits die erste Relation in diesem Problemsatz (PDF):

[ X , H ] = ich ℏ M P ,
das bekommen wir sofort

D D T ⟨ X ⟩   =   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ [ X , H ] ich ℏ ⟩

(3) D D T ⟨ X ⟩   =   ⟨ ∂ X ∂ T ⟩ + ⟨ P M ⟩

aber dann aus (1a) das ⟨ ∂ X / ∂ T ⟩   = 0 , was mich ein wenig stört, aber nichts direkt zu widersprechen scheint.

Meine Frage ist, ob die Schlussfolgerungen (2), (3) in diesen beiden Berechnungen richtig sind und wenn nicht, wo ich mich verirrt habe.

Vielleicht wäre es klarer gewesen, wenn Sie die Operator-Hüte aufbehalten hätten . ∂ X ^ / ∂ T ≡ 0 ^ weil der Betreiber X ^ hat keine explizite Zeitabhängigkeit.
@ jacob1729: Ich gehe zurück und bearbeite, wenn es zu verwirrend ist. x ist durchgehend der Operator.
\langleBeachten Sie, dass Sie und verwenden können \rangle, um besser aussehende BHs und Kets zu erhalten, anstatt einer Reihe von Kleiner-als- und Größer-als-Symbolen, die herumschweben.
@daniel Mein Punkt war eher, dass es dich vielleicht verwirrt. X ^ ist ein konstanter Operator, keine dynamische Variable (es ist nicht die Position von irgendetwas) und hat daher keine partielle Zeitableitung.
@ jacob1729, verstanden. Ich bin es einfach nicht gewohnt, Zeitableitungen von Positionsoperatoren zu nehmen, also sieht es seltsam aus. Wenn die Schlussfolgerung stimmt, umso besser.
@KyleKanos: Werde zurückgehen und dies bald tun, danke, und auch Hüte verteilen.
Ich habe die Frage bearbeitet und rechte und linke Winkel anstelle von Zeichen größer als und kleiner als hinzugefügt.

Antworten (1)

Beachten Sie zunächst, dass der Begriff:

⟨ ∂ X ∂ T ⟩
Gleich Null im Schrödinger-Bild (mit dem Sie anscheinend arbeiten), weil die Operatoren im Schrödinger-Bild konstant sind . Das heißt, sie hängen nicht explizit von der Zeit ab. Was sich mit der Zeit ändert , ist ihr erwarteter Wert , und dies wird dargestellt durch:
D ⟨ X ⟩ D T
Damit ist eine Ihrer Fragen beantwortet (glaube ich).

Beachten Sie nun Folgendes:

[ X , H ] = 1 2 M ( X P 2 − P 2 X )
Aber [ X , P ] = ich ℏ So
1 2 M ( X P 2 − P 2 X ) = 1 2 M ( X P P − P P X ) = 1 2 M ( ( ich ℏ + P X ) P − P ( X P − ich ℏ ) )
Und so
[ X , H ] = 1 2 M ( ich ℏ P + P X P − P X P + ich ℏ P ) = ich ℏ P M
Es macht nicht viel Sinn, das zu sagen
⟨ H X ich ℏ ⟩ = ⟨ ∂ X ∂ T ⟩
So wie du es anscheinend getan hast.

Ich werde das studieren, aber in den vier Zeilen, in denen ich [x,H] aufbreche, können Sie mir sagen, welche falsch ist? (Danke)
Es ist die Annahme, die Sie von der 3. bis zur 4. Zeile gemacht haben, die ich in meiner Antwort (letzte Gleichung) angegeben habe.
Die dritte volle Zeile ist D D T < X >=< ∂ X / ∂ T > − < ∂ X / ∂ T > + < X H / ich H > ⟹ D D T < X >=   < X H / ich H > . Wenn es richtig ist, warum folgt dann nicht die 4. Zeile?
Das ist nicht richtig. $\bigg\langle \frac{Hx}{i\hbar \bigg\rangle$ ist nicht gleich dem Erwartungswert der zeitlichen Ableitung von x.
Verstanden. Es muss also ein Fehler in einer der vorherigen Zeilen sein. Kannst du mir sagen welche?
Schauen Sie sich die letzte Gleichheit in meiner Antwort an. Sie haben es in Ihren Berechnungen verwendet. Und es ist falsch. Das ist der Fehler.
Problem mit der Dirac-Notation und dem Satz von Ehrenfest
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