Die NNN-Identität der zeitlich geordneten Exponentialfunktion in der Quantenmechanik

Question

Die NNN-Identität der zeitlich geordneten Exponentialfunktion in der Quantenmechanik

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In der Quantenmechanik definiert man die Zeit oft exponentiell geordnet wie zB hier .

Jetzt ist meine Frage, wie der Faktor von $N!$ entsteht. Ich kenne das Simplexvolumen als folgendes Integral:

\int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{1}}^{T} D T_{2} \dots \int_{T_{N - 1}}^{T} D T_{N} = \frac{(T - T_{0})^{N}}{N!} = \frac{1}{N!} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T} D T_{N}

$\begin{equation} \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{N-1}}^t dt_N = \frac{(t-t_0)^N}{N!}=\frac{1}{N!}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{0}}^t dt_N \end{equation}$ Ich würde jedoch gerne wissen, wie ich die Identität erhalten kann

\int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{1}}^{T} D T_{2} \dots \int_{T_{N - 1}}^{T} D T_{N} F (T_{1}) \dots F (T_{N}) = \frac{1}{N!} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \dots \int_{T_{0}}^{T} D T_{N} T (F (T_{1}) \dots F (T_{N}))

$\begin{equation} \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_{N-1}}^t dt_N~f(t_1)\cdots f(t_N) = \frac{1}{N!} \int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N)) \end{equation}$ Wo

T

$\mathbb{T}$ ist der zeitordnende Operator, der wie folgt wirkt:

T (F (T_{1}) \dots F (T_{M})) = F (T_{π (N)}) \dots F (T_{π (1)}) mit T_{π (N)} < \dots < T_{π (1)} .

$\begin{equation} \mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_m))=f(t_{\pi(N)})\cdots f(t_{\pi(1)})\qquad\text{with}\qquad t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}. \end{equation}$

Jahan Claes

Ich denke, Sie haben einen Tippfehler in Ihren Integrationsgrenzen für die Zeitordnungsformel. Ich habe den Tippfehler in meiner Antwort unten korrigiert

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Danke. Ich habe die Definition der Zeitreihenfolge jetzt auf geändert

t_{π (N)} < \dots < t_{π (1)}

$t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}$ , also sollte es stimmen.

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Die NNN-Identität der zeitlich geordneten Exponentialfunktion in der Quantenmechanik

Ich denke, Sie haben einen Tippfehler in Ihren Integrationsgrenzen für die Zeitordnungsformel. Ich habe den Tippfehler in meiner Antwort unten korrigiert
Danke. Ich habe die Definition der Zeitreihenfolge jetzt auf geändert $t_{\pi(N)}<\cdots< t_{\pi(1)}$ , also sollte es stimmen.

Jahan Claes · Answer 1

Wir haben das $\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N))=\mathbb{T}~(f(t_{\sigma(1)})\cdots f(t_{\sigma(N)}))$ für jede Permutation $\sigma$ . Das wissen wir auch, wenn wir irgendeine Funktion haben $F(t_1,...,t_N)$ , Dann

\int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \dots \int_{T_{0}}^{T} D T_{N} F (T_{σ (1)}, . . ., T_{σ (N)}) = \sum_{σ} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T_{N - 1}} D T_{N} F (T_{σ (1)}, . . ., T_{σ (N)})

$\int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~F(t_{\sigma(1)},...,t_{\sigma(N)}) =\sum_\sigma\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N F(t_{\sigma(1)},...,t_{\sigma(N)})$

Wir haben also

\begin{array}{rcl} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \dots \int_{T_{0}}^{T} D T_{N} T (F (T_{1}) \dots F (T_{N})) & = & \sum_{σ} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T_{N - 1}} D T_{N} T (F (T_{σ (1)}) \dots F (T_{σ (N)})) \\ = & \sum_{σ} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T_{N - 1}} D T_{N} T (F (T_{1}) \dots F (T_{N})) \\ = & \sum_{σ} \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T_{N - 1}} D T_{N} F (T_{1}) \dots F (T_{N}) \\ = & N! \int_{T_{0}}^{T} D T_{1} \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{T_{0}}^{T_{N - 1}} D T_{N} F (T_{1}) \dots F (T_{N}) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \int_{t_0}^t dt_1\cdots \int_{t_{0}}^{t} dt_N~\mathbb{T}~(f(t_1)\cdots f(t_N))&=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~\mathbb{T}(f(t_{\sigma(1)})\cdots f(t_{\sigma(N)}))\\ &=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~\mathbb{T}(f(t_1)\cdots f(t_{N}))\\ &=&\sum_{\sigma}\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~f(t_1)\cdots f(t_{N})\\ &=&N!\int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} dt_N~f(t_1)\cdots f(t_{N})\\ \end{array}$ woraus unmittelbar die Identität folgt.

Danke für die Antwort. Es wäre sehr nett, wenn Sie den ersten Schritt erläutern könnten, dh warum können wir umschreiben $\int_{t_0}^t dt_1\cdots\int_{t_0}^t dt_N F(t_1,\cdots,t_N)=\sum_\sigma \int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1} dt_2\cdots \int_{t_0}^{t_{N-1}} F(t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(N)})$ ?. Danke.
Ach, ich habe verstanden! Der N-Würfel ist die Vereinigung von $N!$ N-Simplexe. Wenn wir es jetzt zulassen $F(t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(t_N)})$ alle Permutationen mit geordneten Zeiten durchgehen, dann wird jeder Wert, den die Funktion auf dem N-Würfel annehmen könnte, auf einem der Simplexe genommen, die den Würfel bilden. Und da diese Vereinigung disjunkt ist, weil jeder Wert, den das Tupel ( $t_1,\cdots,t_n)$ nur in einem dieser Simplexe auftreten kann, ist die Summe aller dieser Permutationen mit geordneten Zeiten dann das Integral über den ganzen Würfel! Das war es, was mir noch gefehlt hat.

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