Zeitentwicklung des Positionsoperators

Question

Zeitentwicklung des Positionsoperators

Axiom Offcheeoise

Ich versuche zu verstehen, warum

e^{- ich T △} X e^{ich T △} = X - 2 ich T \nabla

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x-2it\nabla$ Wo

x

$x$ ist nur Multiplikationsoperator von

x

$x$ . Insbesondere sagt der Text, dass dies durch Differenzieren in Bezug auf gesehen werden kann

t

$t$ .

QMechaniker

↑

$\uparrow$ Welche Texte?

Valter Moretti

Wenn

△

$\triangle$ ist der

1 D

$1D$ Laplace

\frac{d^{2}}{d x^{2}}

$\frac{d^2}{dx^2}$ Die Formel muss falsch sein.

e^{- i t △} x e^{i t △}

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ ist nichts anderes als die Heisenberg-Entwicklung des Ortsoperators für ein freies Teilchen mit Masse

m = 1 / 2

$m= 1/2$ (und angenommen

ℏ = 1

$\hbar=1$ ). Die richtige Identität ist

e^{- i t △} x e^{i t △} = x + 2 t p

$e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ Wo

p = - i \frac{d}{d x}

$p= -i\frac{d}{dx}$ .

Axiom Offcheeoise

Ja du hast Recht. Ich entschuldige mich für den Fehler.

Antworten (1)

Zeitentwicklung des Positionsoperators

Wenn $\triangle$ ist der $1D$ Laplace $\frac{d^2}{dx^2}$ Die Formel muss falsch sein. $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}$ ist nichts anderes als die Heisenberg-Entwicklung des Ortsoperators für ein freies Teilchen mit Masse $m= 1/2$ (und angenommen $\hbar=1$ ). Die richtige Identität ist $e^{-it\triangle}xe^{it\triangle}=x + 2tp$ Wo $p= -i\frac{d}{dx}$ .

yuggib · Answer 1

Vorausgesetzt $\Delta$ ist der Laplace-Operator, dh $-\Delta=D_x^2$ , Wo $D_x=-i\partial_x$ , geht dies wie folgt (aber das Ergebnis unterscheidet sich von dem, das Sie angeben).

Wählen Sie eine geeignete dichte Domäne von $L^2$ Wo $x$ Und $-\Delta$ gut definiert sind, zB die Funktionen, die sind $C_0^\infty$ . Lassen $\psi\in C_0^\infty$ , Dann

e^{ich T D_{X}^{2}} X e^{- ich T D_{X}^{2}} ψ = X ψ + \int_{0}^{T} \frac{D}{D S} (e^{ich S D_{X}^{2}} X e^{- ich S D_{X}^{2}} ψ) D S,

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + \int_0^t \frac{d}{ds}(e^{isD_x^2}xe^{-isD_x^2}\psi)ds \; ,$ und dies wird die Duhamel-Formel genannt. Nehmen Sie nun die Ableitung, die Sie erhalten

e^{ich T D_{X}^{2}} X e^{- ich T D_{X}^{2}} ψ = X ψ - ich \int_{0}^{T} e^{ich S D_{X}^{2}} [X, D_{X}^{2}] e^{- ich S D_{X}^{2}} D S = X ψ - ich \int_{0}^{T} e^{ich S D_{X}^{2}} (D_{X} [X, D_{X}] + [X, D_{X}] D_{X}) e^{- ich S D_{X}^{2}} ψ D S .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}[x,D_x^2]e^{-isD_x^2}ds=x\psi -i\int_0^t e^{isD_x^2}(D_x[x,D_x]+[x,D_x]D_x) e^{-isD_x^2}\psi ds\; .$ Jetzt der Kommutator

[x, D_{x}] = i

$[x,D_x]=i$ , Und

D_{X}

$D_X$ pendelt mit

e^{i s D_{x}^{2}}

$e^{isD_x^2}$ somit

e^{ich T D_{X}^{2}} X e^{- ich T D_{X}^{2}} ψ = X ψ + 2 D_{X} \int_{0}^{T} e^{- ich S D_{X}^{2}} e^{ich S D_{X}^{2}} ψ D S = (X + 2 T D_{X}) ψ .

$e^{itD_x^2}xe^{-itD_x^2}\psi=x\psi + 2D_x\int_0^te^{-isD_x^2}e^{isD_x^2}\psi ds=(x+2tD_x)\psi\; .$ Das Ergebnis kann dann beliebig erweitert werden

ψ \in D (x) \cap D (D_{x})

$\psi\in D(x)\cap D(D_x)$ so dass

e^{- i t D_{x}^{2}} ψ \in D (x)

$e^{-itD_x^2}\psi\in D(x)$ .

Zeitentwicklung des Positionsoperators

Axiom Offcheeoise

QMechaniker

Valter Moretti

Axiom Offcheeoise

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yuggib

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