Adjunkt des Zeitentwicklungsoperators

Question

Adjunkt des Zeitentwicklungsoperators

Invenietis

Der Zeitentwicklungsoperator $\hat U$ ist so definiert, dass $\Psi(x,t)=\hat U(t)\Psi(x,0)$ . In Bezug auf den Hamilton-Operator wird es ausgedrückt als $\hat{U}(t)=\exp \left(-\frac{i t}{\hbar} \hat{H}\right)$ . Ich versuche, das adjungierte Konjugierte zu berechnen $\hat U^\dagger(t)$ .

Mein Lösungsversuch

Es muss befriedigen $\langle \hat{U}(t) \Psi(x,0) | \Phi(x,0) \rangle=\langle \Psi(x,0) | \hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0) \rangle$ , So

\int_{- \infty}^{+ \infty} {\hat{U}}^{⋆} (T) Ψ^{⋆} (X, 0) Φ (X, 0) D X = \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ^{⋆} (X, 0) {\hat{U}}^{†} (T) Φ (X, 0) D X

$\int _{-\infty}^{+\infty} \hat{U}^\star(t) \Psi^\star(x,0) \Phi(x,0) dx=\int _{-\infty}^{+\infty} \Psi^\star(x,0)\hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0)dx$

ich weiß, dass $\hat U$ ist einheitlich, also $\hat U^\dagger(t)=\hat U^{-1}(t)=\hat U^{\star}(t)$ , aber ohne Verwendung dieser Informationen könnte der Ausdruck von $\hat U^\dagger(t)$ aus obigem Ausdruck abgeleitet werden?

QMechaniker

Verwandter Beitrag von OP: physical.stackexchange.com/q/576729/2451

Benutzer2820579

Beachten Sie, dass Sie zum Berechnen des Adjungierten den Vektorzustand nicht auf einer bestimmten Basis benötigen. Eine äquivalente und in der Tat allgemeinere Definition ist

| Ψ (t) >= U (t) | Ψ (t = 0) >

$|\Psi(t)>=U(t)|\Psi(t=0)>$ .

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Adjunkt des Zeitentwicklungsoperators

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Beachten Sie, dass Sie zum Berechnen des Adjungierten den Vektorzustand nicht auf einer bestimmten Basis benötigen. Eine äquivalente und in der Tat allgemeinere Definition ist $|\Psi(t)>=U(t)|\Psi(t=0)>$ .

Benutzer2820579 · Answer 1

Wahrscheinlich ist es sauberer, es nach Serien zu machen.

\begin{aligned} U^{†} (T) & = {(\sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} {(\frac{- ich T}{ℏ})}^{N} H^{N})}^{†} \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} {({(\frac{- ich T}{ℏ})}^{N})}^{†} (H^{N})^{†} \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} {(\frac{ich T}{ℏ})}^{N} H^{N} \\ = \exp (ich T H / ℏ), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} U^\dagger(t)&=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{-it}{\hbar} \right)^n H^n\right)^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{-it}{\hbar} \right)^n \right)^\dagger (H^n)^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{it}{\hbar} \right)^n H^n\\ &=\exp(it H/\hbar), \end{split} \end{equation}$

seit $H$ ist hermitesch.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit der Schrödinger-Gleichung zu beginnen, die Adjungierte zu berechnen und schließlich eine Gleichung für abzuleiten und zu lösen $U^\dagger$ unter der Vorraussetzung, dass $<\Psi(t)| = <\Psi(t=0)|U^\dagger$ .

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Invenietis

QMechaniker

Benutzer2820579

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Benutzer2820579

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