Zeitentwicklung von Zuständen - Ist die Gesamtenergie konstant oder nicht?

Es sieht so aus, als ob Sie mit dem eindimensionalen einfachen harmonischen Oszillator arbeiten. In diesem Fall ist Ihr Ausdruck in Klammern, für den Sie die Zeitableitung berechnet haben, nicht der Erwartungswert des Hamilton-Operators. Dein$\hat p$sollte quadriert und dividiert werden durch$2m$Und$\hat x$sollte quadratisch sein.

Außerdem fragst du

sollte die Gesamtenergie nicht erhalten bleiben?

In diesem Fall sollte der Erwartungswert des Hamiltonoperators erhalten bleiben, da er keine explizite Zeitabhängigkeit aufweist. Um es expliziter zu machen, erinnern Sie sich daran, dass im Allgemeinen die zeitliche Ableitung des Erwartungswerts einer beliebigen Observable$\hat O$befriedigt

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|[\hat H,\hat O]|\psi(t)\rangle + \langle\psi(t)| \frac{\partial \hat O}{\partial t}|\psi(t)\rangle. \end{align}$$ Als Spezialfall erfüllt die zeitliche Ableitung den Erwartungswert des Hamiltonoperators $$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\hat H|\psi(t)\rangle = \langle\psi(t)| \frac{\partial \hat H}{\partial t}|\psi(t)\rangle \end{align}$$ seit $[\hat H, \hat H] = 0$. Daher jederzeit $\partial \hat H/\partial t = 0$, bleibt der Erwartungswert des Hamiltonoperators erhalten.