Zeitabhängigkeit einer Funktion eines Operators

Angenommen, ich kenne die Zeitentwicklung eines Operators, die gegeben ist durch$\dot{\hat{O}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{O}(t)]$. Jetzt möchte ich mir eine Funktion ansehen$\hat{f}(\hat{O}$, und ich möchte die zeitliche Entwicklung der "Werte" dieser Funktion wissen. Ich gehe davon aus, dass ich expandieren kann$\hat{f}$in einer Taylor-Serie: Since$\hat{O}$hat eine einheitliche Zeitentwicklung$U$, Ich kann schreiben:

$$\hat{f}(\hat{O}(t)) = \Sigma_i c_i \hat{O}^i(t) = \\ \Sigma_i c_i (\hat{U}_{t, t_0} \hat{O}(t_0) \hat{U}_{t_0, t})^i = \\ \Sigma_i c_i \hat{U}_{t, t_0} \hat{O}(t_0)^i \hat{U}_{t_0, t} = \\ \hat{U}_{t, t_0} \hat{f}(\hat{O}(t_0)) \hat{U}_{t_0, t}$$ Dann ergibt die Berechnung der zeitlichen Ableitung: $$\frac{d}{dt} \hat{f}(\hat{O}(t)) = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{f}(\hat{O}(t))]$$

Ich komme jedoch nicht zu demselben Ergebnis, wenn ich versuche, die Ableitung direkt zu berechnen:

$$\frac{d}{dt} \hat{f}(\hat{O}(t)) = \Sigma_{j=1} c_j j \hat{O}^{j-1}(t) \dot{\hat{O}}\\ = \Sigma_{j=1} c_j j \hat{O}^{j-1}(t) \frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{O}(t)]$$ Um zum selben Ergebnis zu kommen, müsste ich den Hamiltonoperator permutieren $\hat{H}$durch das ganze Produkt $(\hat{O}(t))^{j-1}$. Ich stecke hier fest. Mache ich irgendwo einen Fehler?