Welche zeitliche Ableitung ist welche im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik?

Es gibt keinen Fehler auf der Wikipedia-Seite und alle Gleichungen und Aussagen stimmen miteinander überein. Im

$$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar}$$ der Buchstabe $A$in der Mitte des Produkts steht der Schrödinger-Bildoperator $A = A_{\rm Schr.}$das entwickelt sich nicht mit der Zeit, denn im Schrödinger-Bild wird die dynamische Entwicklung durch die Entwicklung des Zustandsvektors garantiert $|\psi\rangle$.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass die zeitliche Ableitung$dA_{\rm Schr.}/dt=0$. Stattdessen haben wir

$$\frac{dA_{\rm Schr.}}{dt} = \frac{\partial A_{\rm Schr.}}{\partial t}$$ Hier, $A_{\rm Schr.}$soll eine Funktion von sein $x_i, p_j$, und $t$. In den meisten Fällen besteht keine Abhängigkeit von den Schrödinger-Bildoperatoren $t$- die wir eine "explizite Abhängigkeit" nennen - es ist jedoch möglich, einen allgemeineren Fall zu betrachten, in dem diese explizite Abhängigkeit existiert (einige Begriffe in der Energie, z. B. die elektrostatische Energie in einem externen Feld, können natürlich zeitabhängig sein). .

Auf Schrödingers Bild$dx_{i,\rm Schr.}/dt=0$und$dp_{j,\rm Schr.}/dt=0$weshalb die totale Ableitung von$A_{\rm Schr.}$nach der Zeit ist nur durch die partielle Ableitung nach der Zeit gegeben. Stellen Sie sich zum Beispiel vor,

$$A_{\rm Schr.}(t) = c_1 x^2 + c_2 p^2 + c_3 (t) (xp+px)$$ Wir würden haben $$\frac{dA_{\rm Schr.}(t)}{dt} = \frac{\partial c_3(t)}{\partial t} (xp+px).$$ Diese Bildoperatoren von Schrödinger werden auf dieser Wikipedia-Seite als "untransformiert" bezeichnet. Die transformierten sind die durch gegebenen Heisenberg-Bildoperatoren $$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\rm Schr.}(t) e^{-iHt/\hbar}$$ Ihre Zeitableitung, $dA_{\rm Heis.}(t)/dt$, ist komplizierter. Eine einfache Differenzierung ergibt genau die Formel mit $[H,A_{\rm Heis.}]$die du auch zitiert hast. $$\frac{d}{dt} A_{\rm Heis.}(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A_{\rm Heis.}(t)] + \frac{\partial A_{\rm Heis.}(t)}{\partial t}.$$ Die beiden Terme im Kommutator ergeben sich aus der $t$-Ableitungen der beiden Exponentiale in der Formel für die Heisenberg $A_{\rm Heis.}(t)$während die partielle Ableitung entsteht aus $dA_{\rm Schr.}/dt$hatten wir schon immer. (Diese einfachen Gleichungen bleiben sogar für eine zeitabhängige Gleichung so einfach $A_{\rm Schr.}$; Wir müssen jedoch davon ausgehen, dass die Summe $H$ist zeitunabhängig, sonst würden alle Gleichungen komplizierter werden.) Die beiden Exponentiale auf beiden Seiten verschwinden niemals durch irgendeine Art von Ableitung, also offensichtlich alle Erscheinungen von $A$in der obigen Differentialgleichung sind $A_{\rm Heis.}$. Die oben angezeigte Gleichung ist die (einzige) dynamische Gleichung für das Heisenberg-Bild, daher ist es in sich geschlossen und enthält keine Objekte aus anderen Bildern.

Im Heisenberg-Bild ist das nicht mehr der Fall$dx_{\rm Heis.}(t)/dt=0$(nicht!) und die ähnliche Identität versagt$p_{\rm Heis.}(t)$auch.$A_{\rm Heis.}(t)$ist eine allgemeine Funktion aller Grundoperatoren$x_{i,\rm Heis.}(t)$und$p_{j,\rm Heis.}(t)$, sowie Zeit$t$.

Das Heisenberg-Bild ist definiert als

$$A_{\mathrm{H}}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\mathrm{S}}(t) e^{-iHt/\hbar}$$

indem wir beide Seiten differenzieren, erhalten wir

$$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{H}}(t) = [ A_{\mathrm{H}}(t), H] + i\hbar \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}} \>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\> (1)$$

Einige Lehrbücher schreiben den letzten Begriff mit der Notation [*] um.

$$\frac{\partial}{\partial t} A_{\mathrm{H}}(t) \equiv \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}}$$

[*] Ich stimme zu, dass diese Notation für Mathematiker umständlich ist (es ist keine echte partielle Ableitung) und die strengeren Physiklehrbücher verwenden (1) mit der Gesamtzeitableitung.

Am einfachsten lässt sich dies aus dem Schrödinger-Bild ableiten:

Lassen$B(t)$ein zeitabhängiger Operator im Schrödinger-Bild sein. Der entsprechende Operator im Heisenberg-Bild ist$A(t) = e^{iHt/\hbar} B(t) e^{-iHt/\hbar}$. Differenzierung bzgl$t$gibt

$$\frac{d}{dt} A(t) = e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} H B(t) + \frac{\partial}{\partial t}B(t) - \frac{i}{\hbar} B(t) H) \right) e^{-iHt/\hbar}$$ $$= e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} [H,B(t)] + \frac{\partial}{\partial t}B(t)\right) e^{-iHt/\hbar} = \frac{i}{\hbar} [H,A(t)] + \frac{\partial A}{\partial t}$$

Anders ausgedrückt ist die letzte partielle Ableitung so zu verstehen, dass man den Operator nimmt$\frac{\partial B}{\partial t}$und "entwickeln Sie es in der Zeit" über die Schrödinger-Gleichung.

Nützliches Nicht-Beispiel: der Velocity-Operator$\vec v$. Der Geschwindigkeitsoperator ist die Ableitung des Positionsoperators, aber es ist die Gesamtableitung, wenn sich das System entwickelt. Somit,

$$\vec v = \frac{i}{\hbar} [H,\vec r] .$$

Im Schrödinger-Bild ist der Ortsoperator natürlich zeitunabhängig. Seit$H$ebenfalls zeitunabhängig ist, ist dies auch der rechte Geschwindigkeitsoperator im Schrödinger-Bild.

Wie immer in der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik, ob klassisch oder quantenmechanisch,

$$\partial A\over\partial t$$ bedeutet den Weg $A$variiert explizit in der Zeit einfach vom Auftreten von $t$ ausdrücklich in seiner Formel .

Aber einige der anderen Teile der Formel von$A$kann sich auch mit der Zeit ändern und trägt somit etwas zur Gesamtveränderung bei$A$im Laufe der Zeit notiert

$$dA\over dt.$$

Dies ist dasselbe wie die Notation in der Kettenregel in mehreren Variablen wo$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt$. Das Differenzial auf der linken Seite ist das „Gesamtdifferenzial“$df$aber es ist die Summe zweier Terme, von denen nur einer die explizite Abhängigkeit von ist$f$an$t$.

Für diejenigen, die Hausaufgaben machen und - wie ich - sich über Bilder von Schrödinger vs. Heisenberg den Kopf zerbrechen und folglich die Grundprinzipien aus den Augen verloren haben, die Sie hierher gebracht haben, erinnern Sie sich, dass es einen Unterschied zwischen der Entwicklung von Erwartungswerten und der Entwicklung von Operatoren gibt .

$$\frac{\partial x}{\partial t} = 0$$

der Betreiber$x$entwickelt sich im Schrödinger-Bild nicht mit der Zeit. In Bezug auf die ursprüngliche Frage, die diesen Thread gestartet hat, im Heisenberg-Bild jedoch,$x$würde mit Evolutionsoperatoren dargestellt, die auf beiden Seiten davon angeheftet sind, von denen jeder eine explizite Abhängigkeit von der Zeit hat. Daher bezieht sich das, was Wikipedia meiner Meinung nach mit "transformiertem Operator" meinte, auf das "Bild", in dem es dargestellt ist.