Zeitordnungsoperator, der auf Exponential wirkt?

Question

Zeitordnungsoperator, der auf Exponential wirkt?

Quanten-Spaghettifizierung

Bei der Betrachtung der Quantenfeldtheorie bin ich auf den Zeitordnungsoperator gestoßen, $T$ , so definiert, dass (das mit Fermion-Operatoren verbundene Zeichen ignoriert):

T (A_{1} (T_{1}) . . . A_{N} (T_{N})) = A_{π (1)} (T_{π (1)}) . . . A_{π (N)} (T_{π (N)})

$T(a_1(t_1)...a_n(t_n))=a_{\pi(1)}(t_{\pi(1)})...a_{\pi(n)}(t_{\pi(n)})$ Wo

π

$\pi$ ist eine Permutation von

1, 2, . . ., n

$1,2,...,n$ so dass

t_{π (1)} > t_{π (2)} > . . . > t_{π (n)}

$t_{\pi(1)} \gt t_{\pi(2)}\gt...\gt t_{\pi(n)}$ . Das ist in Ordnung und ich verstehe, wie das funktioniert. Habe aber auch Ausdrücke gesehen wie:

T (\exp (- ich \int_{0}^{T} D T^{'} v_{ICH} (T^{'})))

$T \left( \exp \left( -i \int^t_0 dt' V_I(t') \right) \right)$ Wie funktioniert der Zeitordnungsoperator in diesen Fällen? Da es im ersten Fall eine explizite Zeitabhängigkeit gibt und im zweiten scheinbar alle Operatoren gleichzeitig ausgewertet werden

t

$t$ .

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/45455/2451 und darin enthaltene Links.

QMechaniker

Hallo @Quantum Spaghettifizierung. Ich habe Ihre erste Teilfrage (v1) entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.

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Zeitordnungsoperator, der auf Exponential wirkt?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/45455/2451 und darin enthaltene Links.
Hallo @Quantum Spaghettifizierung. Ich habe Ihre erste Teilfrage (v1) entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.

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In dem von Ihnen beschriebenen Fall der Zeitordnungsoperator $\mathbb{T}$ ist definiert, um an der durch die Exponentialfunktion definierten Taylor-Reihe zu arbeiten. Konkret heißt das

T \exp (- ich \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T v (T)) = T (1 + (- ich) \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T v (T) + \frac{(- ich)^{2}}{2!} \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{1} v (T_{1}) \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{2} v (T_{2}) + \dots)

$\begin{equation} \mathbb{T}~\exp\left(-i\int_{t_I}^{t_F} dt~V(t)\right) = \mathbb{T}~\left(1 + (-i)\int_{t_I}^{t_F} dt~V(t)+ \frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_2)+\cdots \right) \end{equation}$ Nun ist zum Beispiel der Term n-ter Ordnung gleich

\begin{aligned} T \frac{(- ich)^{N}}{N!} \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{1} \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{2} \dots \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{N} v (T_{1}) \dots v (T_{N}) \\ = \frac{(- ich)^{N}}{N!} \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{1} \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{2} \dots \int_{T_{ICH}}^{T_{F}} D T_{N} T (v (T_{1}) \dots v (T_{N})) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\mathbb{T}~\frac{(-i)^N}{N!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1 \int_{t_I}^{t_F} dt_2\cdots\int_{t_I}^{t_F}dt_N~V(t_1)\cdots V(t_N)\\ &=\frac{(-i)^N}{N!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1 \int_{t_I}^{t_F} dt_2\cdots\int_{t_I}^{t_F}dt_N~\mathbb{T}(V(t_1)\cdots V(t_N)) \end{split} \end{equation}$ und von hier an können Sie die von Ihnen beschriebene Gleichung zum Verständnis verwenden. So

T

$\mathbb{T}$ verhält sich genau so, wie man es erwartet. Was Sie am Anfang wahrscheinlich übersehen haben, ist, dass die Taylor-Reihe zu einem Produkt von Integralen führt, die jeweils einen eigenen Integrationsnamen haben, weil

{(\int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} V (t_{1}))}^{2} = \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} V (t_{1}) \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} V (t_{2}) = \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} V (t_{1}) V (t_{2})

$\left(\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\right)^2=\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_2)=\int_{t_I}^{t_F} dt_1\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_1)V(t_2)$ . Daher ist der obige Ausdruck sinnvoll.

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