Evolutionsoperator für zeitabhängigen Hamiltonoperator

Question

Evolutionsoperator für zeitabhängigen Hamiltonoperator

Oiale

Als ich QM studierte, arbeitete ich nur mit zeitunabhängigen Hamiltonianern. In diesem Fall hat der unitäre Evolutionsoperator die Form

\hat{U} = e^{- \frac{ich}{ℏ} H t}

$\hat{U}=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$ das folgt aus dieser Gleichung

ich ℏ \frac{d}{d t} \hat{U} = H \hat{U} .

$i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}=H\hat{U}.$ Und in diesem Fall Hamiltonian im Heisenberg-Bild (

H_{H}

$H_{H}$ ) ist genauso wie der Hamiltonoperator im Schrödinger-Bild (

H_{S}

$H_{S}$ ), dh es pendelt mit

\hat{U}

$\hat{U}$ . Jetzt habe ich einen Hamiltonoperator, der explizit von der Zeit abhängt. Speziell,

H_{S} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω {\hat{q}}^{2} - F_{0} Sünde (ω_{0} t) \hat{q} .

$H_{S}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega \hat{q}^2-F_0 \sin(\omega_0t)\hat{q}.$

Und in meinem Problem muss ich rechnen $H_H$ (Hamiltonian im Heisenberg-Bild).

Ich habe diese Differentialgleichung für gefunden $\hat{U}$ (Ich habe es oben erwähnt.) hat im Allgemeinen eine Lösung in der Form (mit $U(0)=1$ )

U (t) = 1 + ξ \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} + ξ^{2} \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} {\int_{0}^{t}}^{'} H (t^{″}) d t^{″} + ξ^{3} \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} {\int_{0}^{t}}^{'} H (t^{″}) d t^{″} {\int_{0}^{t}}^{″} H (t^{‴}) d t^{‴} + . . .

$U(t)=1+\xi\int\limits_0^t H(t')\,dt'+ \xi^2\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''+\xi^3\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''\int\limits_0^t'' H(t''')\,dt'''+...$

Also meine Fragen sind:

Gibt es noch andere Berechnungsmöglichkeiten $\hat{U}$ , könnte einen Link geben oder mir etwas darüber erzählen?
Wenn Sie eine Form der Lösung für meinen Fall kennen, sagen Sie es mir bitte.
Wenn Sie Artikel oder Fachartikel zu diesem Thema kennen, verlinken Sie diese bitte auch auf mich.

Markus Mitchison

Können Sie erklären, was genau Sie tun möchten? Im Allgemeinen ist diese Art von Problem in dem von erzeugten Interaktionsbild besser zu handhaben

H_{0} = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}

$H_0 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2$ , da Sie bereits die Eigenzustände von kennen

H_{0}

$H_0$ . Dann können Sie die Entwicklung von Observablen oder Zuständen mithilfe der Dyson-Reihe berechnen, was im Wesentlichen das ist, was Sie berechnet haben. Ihre Störung ist zeitperiodisch, daher finden Sie möglicherweise auch die Floquet-Theorie nützlich.

jjcale

Da Ihr Hamiltonian zeitlich periodisch ist, könnte dieser Link hilfreich sein: en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory

Oiale

Ich will rechnen

E = ⟨ \hat{H} ⟩

$E=\langle\hat{H}\rangle$ zum Zeitpunkt

T

$T$ dh

⟨ ψ (t) | \hat{H} | ψ (t) ⟩

$\langle \psi(t)|\hat{H}| \psi(t) \rangle$ oder im Heisenberg-Bild

⟨ ψ | \hat{H} (t) | ψ ⟩

$\langle \psi |\hat{H}(t)| \psi \rangle$ . Für diese Sache brauche ich den Evolutionsoperator zum Berechnen

\hat{H (t)}

$\hat{H(t)}$ , wie ich denke.

Benjamin

Lesen Sie etwas über die Magnus-, Fer- und Wilcox-Erweiterungen: sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157308004092 repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/32076/…

HansHarhoff

Eine ähnliche Situation wird in diesen Vorlesungsunterlagen gelöst , die nützlich sein könnten.

Durd3nT

Eine naive Frage: Im obigen Fall eines Hamiltonoperators mit periodischem Antrieb könnte man einfach die ausführen

t

$t$ -Integrieren Sie den Zeitentwicklungsoperator analytisch und vermeiden Sie die Zeitreihenfolge usw., richtig?

Antworten (1)

Evolutionsoperator für zeitabhängigen Hamiltonoperator

Können Sie erklären, was genau Sie tun möchten? Im Allgemeinen ist diese Art von Problem in dem von erzeugten Interaktionsbild besser zu handhaben $H_0 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2$ , da Sie bereits die Eigenzustände von kennen $H_0$ . Dann können Sie die Entwicklung von Observablen oder Zuständen mithilfe der Dyson-Reihe berechnen, was im Wesentlichen das ist, was Sie berechnet haben. Ihre Störung ist zeitperiodisch, daher finden Sie möglicherweise auch die Floquet-Theorie nützlich.
Da Ihr Hamiltonian zeitlich periodisch ist, könnte dieser Link hilfreich sein: en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory
Ich will rechnen $E=\langle\hat{H}\rangle$ zum Zeitpunkt $T$ dh $\langle \psi(t)|\hat{H}| \psi(t) \rangle$ oder im Heisenberg-Bild $\langle \psi |\hat{H}(t)| \psi \rangle$ . Für diese Sache brauche ich den Evolutionsoperator zum Berechnen $\hat{H(t)}$ , wie ich denke.
Lesen Sie etwas über die Magnus-, Fer- und Wilcox-Erweiterungen: sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157308004092 repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/32076/…
Eine ähnliche Situation wird in diesen Vorlesungsunterlagen gelöst , die nützlich sein könnten.
Eine naive Frage: Im obigen Fall eines Hamiltonoperators mit periodischem Antrieb könnte man einfach die ausführen $t$ -Integrieren Sie den Zeitentwicklungsoperator analytisch und vermeiden Sie die Zeitreihenfolge usw., richtig?

Olaf · Answer 1

Ja, Sie sind auf dem richtigen Weg. Die Serie, die Sie dort haben, heißt Dysons Serie .

Beachten Sie zunächst, dass die $n$ 'ter Begriff aussieht

U_{n} = {(- \frac{ich}{ℏ})}^{n} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t_{n - 1}} d t_{n} H (t_{1}) \dots H (t_{n})

$U_n = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n} H(t_1)\cdots H(t_n)$

Die Reihenfolge der Hamiltonoperatoren ist wichtig, da wir mit Operatoren arbeiten. Jeder Term in der Reihe besitzt eine schöne Symmetrie, sodass wir schreiben können:

\begin{aligned} U_{n} = {(- \frac{ich}{ℏ})}^{n} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t_{n - 1}} d t_{n} H (t_{1}) \dots H (t_{n}) = \frac{{(- \frac{ich}{ℏ})}^{n}}{n!} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t} d t_{n} T [H (t_{1}) \dots H (t_{n})] \end{aligned}

$\begin{align} U_n = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n}\ H(t_1)\cdots H(t_n) = \frac{\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n}{n!}\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^t dt_{n} \mathcal{T}\left[H(t_1)\cdots H(t_n)\right] \end{align}$

Zwei Dinge sind passiert: Erstens haben wir "überzählt", indem wir die Obergrenzen gleich gemacht haben $t$ auf allen Integralen. Dies wird durch den Faktor kompensiert $\frac{1}{n!}$ . Sie müssen sich selbst davon überzeugen, warum dieser Faktor benötigt wird;)

Zweitens bringen wir durch diese Änderung des Integrationsbereichs die Reihenfolge der Hamiltonoperatoren im Prozess durcheinander. Hier befindet sich das Zeitordnungssymbol $\mathcal{T}$ kommt. Im Grunde stellt dieser Operator sicher, dass die Hamiltonoperatoren immer in der richtigen Weise geordnet sind. Zum Beispiel für $n=2$ es funktioniert als

\begin{aligned} T [H (t_{1}) H (t_{2})] = {\begin{cases} H (t_{1}) H (t_{2}) & t_{2} > t_{1} \\ H (t_{2}) H (t_{1}) & t_{2} < t_{1} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T}[H(t_1) H(t_2)] = \begin{cases} H(t_1) H(t_2) & t_2 > t_1\\ H(t_2) H(t_1) & t_2 < t_1 \end{cases} \end{align}$

Wir fügen alles zusammen, was wir haben

U (t, t^{'}) = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- \frac{ich}{ℏ})}^{n}}{n!} \int_{t^{'}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t^{'}}^{t} d t_{n} T [H (t_{1}) \dots H (t_{n})]

$U(t, t') = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n}{n!} \int_{t'}^t dt_1 \cdots\int_{t'}^t dt_n \mathcal{T}[H(t_1)\cdots H(t_n)]$ Häufig wird dies symbolisch als bezeichnet

U (t, t^{'}) = T \exp (- \frac{ich}{ℏ} \int_{t^{'}}^{t} H (t_{1}) d t_{1})

$U(t, t') = \mathcal{T}\exp\left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t'}^t H(t_1) dt_1\right)$ Diese Notation wird als Darstellung der Potenzreihe verstanden.

Ich denke, Sie wollten dies für die Zeitbestellung schreiben: $H(t_2) H(t_1) t_2 > t_1$ und $H(t_1)H(t_2) t_2 < t_1$ . Wenn ich mich nicht irre.

Evolutionsoperator für zeitabhängigen Hamiltonoperator

Oiale

Markus Mitchison

jjcale

Oiale

Benjamin

HansHarhoff

Durd3nT

Antworten (1)

Olaf

LK

Zeitentwicklung mit einem zeitabhängigen Hamiltonian [geschlossen]

Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für einen einheitlichen Operator

Kommutierungsbeziehung unter Zeitordnung

Erwartungswert des zeitabhängigen Hamiltonoperators

Wie/Warum hat Feynman das Element der Hamilton-Matrix H12H12H_{12} mit der Amplitude in Beziehung gesetzt, um von |1⟩|1⟩|1\rangle zu |2⟩|2⟩| zu gehen 2\rangle?

Wie ist der Hamiltonoperator ein hermitescher Operator?

Logarithmus der Operatoren in der Quantenmechanik

Verwenden der Dyson-Formel im Schrödinger-Bild

Äquivalente Darstellungen stationärer Zustände in der Quantenmechanik

Wiederherstellung des Hamilton-Operators von Leiteroperatoren