Wie/Warum hat Feynman das Element der Hamilton-Matrix H12H12H_{12} mit der Amplitude in Beziehung gesetzt, um von |1⟩|1⟩|1\rangle zu |2⟩|2⟩| zu gehen 2\rangle?

Unser Problem besteht also darin, die Matrix zu verstehen$U(t_2,t_1)$für ein unendlich kleines Zeitintervall – z$t_2=t_1+Δt$. Wir fragen uns: Wenn wir einen Staat haben$ϕ$Nun, wie sieht der Staat aus wie eine unendlich kleine Zeit$Δt$später? Mal sehen, wie wir das schreiben. Rufen Sie den Zustand zum Zeitpunkt t auf,$\ket{ψ(t)}$(Wir zeigen die Zeitabhängigkeit von$ψ$um ganz klar zu machen, dass wir den damaligen Zustand meinen$t$). Nun stellen wir die Frage: Wie ist der Zustand nach dem kleinen Zeitintervall$Δt$später? Die Antwort ist$\newcommand{\bk}[2]{\left\langle #1 | #2 \right\rangle} \newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\biik}[3]{\left\langle #1 | #2| #3\right\rangle}$

$$\ket{ψ(t+Δt)}=U(t+Δt,t)\ket{ψ(t)}.$$ Auch das können wir lösen$\ket{ψ(t)}$in Basiszustände und schreiben $$\bk{i}{ψ(t+Δt)}=\sum_j \biik{i}{U(t+Δt,t)}{j} \bk{j}{ψ(t)}.$$ Jede Amplitude bei$(t+Δt)$proportional zu allen anderen Amplituden ist$t$multipliziert mit einem Satz von Koeffizienten. Nennen wir die$U$-Matrix$U_{ij}$, womit wir meinen $$U_{ij}=\biik{i}{U}{j}.$$ Dann können wir schreiben $$C_i(t+Δt)=\sum_j U_{ij}(t+Δt,t)C_j(t).$$ So wird also die Dynamik der Quantenmechanik aussehen. [..] Wenn$Δt$auf Null geht, kann nichts passieren – wir sollten nur den ursprünglichen Zustand erhalten. So,$U_{ii}→1$Und$U_{ij}→0$, Wenn$i≠j$. Mit anderen Worten,$U_{ij}→δ_{ij}$für$Δt→0.$Auch können wir das für klein annehmen$Δt$, jeder der Koeffizienten$U_{ij}$unterscheiden sollte$δ_{ij}$um Beträge proportional zu$Δt$; damit wir schreiben können $$U_{ij}=δ_{ij}+K_{ij}Δt.$$ Es ist jedoch üblich, den Faktor zu nehmen$(−i/ℏ)$aus den Koeffizienten$K_{ij}$, aus historischen und anderen Gründen; wir schreiben lieber $$U_{ij}(t+Δt,t)=δ_{ij}−\frac{i}{ℏ} H_{ij}(t)Δt.$$ Die Bedingungen$H_{ij}$sind nur die Ableitungen bzgl$t_2$der Koeffizienten$U_{ij}(t_2,t_1)$, bewertet bei$t_2=t_1=t.$Verwenden Sie dieses Formular für$U$, wir haben $$C_i(t+Δt)=\sum_j \left[δ_{ij}−\frac{i}{ℏ}H_{ij}(t)Δt\right]Cj(t).$$ Nehmen Sie die Summe über die$δ_{ij}$Begriff, bekommen wir gerade$C_i(t)$, die wir auf die andere Seite der Gleichung setzen können. Dann dividieren durch$Δt$, haben wir, was wir als Derivat erkennen $$C_i(t+Δt)−Ci(t)Δt=−\frac{i}{ℏ}\sum_j H_{ij}(t)Cj(t)$$ oder $$iℏ\frac{dC_i(t)}{dt}= \sum_j H_{ij}(t)Cj(t).$$

So hat Feynman definiert$H_{ij}$als Ableitung von$U_{ij}$. Dies ist das${ij}^\text{th}$Element der Hamilton-Matrix. Dann schrieb er ziemlich unvermittelt:

Die Koeffizienten$H_{ij}$werden Hamilton-Matrix oder kurz Hamilton-Matrix genannt. (Wie Hamilton, der in den 1830er Jahren arbeitete, seinen Namen auf einer quantenmechanischen Matrix erhielt, ist eine Geschichte der Geschichte.) Sie würde viel besser Energiematrix genannt werden, aus Gründen, die deutlich werden, wenn wir damit arbeiten. Das Problem ist also: Kennen Sie Ihren Hamiltonoperator!

So,$H_{ij}$was die zeitliche Ableitung von ist$U_{ij}$Matrix bezieht sich auf die Energie des Systems.

Aber nach zwei Kapiteln erwähnte er das aus dem Nichts$H_{ij}$ist die Amplitude, von der ausgegangen werden soll$\ket 1$Zu$\ket 2$. Als

Ein positiv ionisiertes Wasserstoffmolekül besteht aus zwei Protonen, um die sich ein Elektron herumschlängelt. Wenn die beiden Protonen sehr weit voneinander entfernt sind, welche Zustände würden wir für dieses System erwarten? Die Antwort ist ziemlich klar: Das Elektron bleibt in der Nähe eines Protons und bildet in seinem niedrigsten Zustand ein Wasserstoffatom, und das andere Proton bleibt als positives Ion allein. Wenn also die beiden Protonen weit voneinander entfernt sind, können wir uns einen physikalischen Zustand vorstellen, in dem das Elektron an einem der Protonen „gebunden“ ist. Es gibt offensichtlich einen anderen Zustand, der symmetrisch zu dem ist, in dem sich das Elektron in der Nähe des anderen Protons befindet, und das erste Proton ist dasjenige, das ein Ion ist. Wir nehmen diese beiden als unsere Basiszustände und nennen sie$\ket{1}$Und$\ket{2}.$Es gibt eine kleine Amplitude für das Elektron, um sich von einem Proton zum anderen zu bewegen. In erster Näherung also jeder unserer Basiszustände$\ket{1}$Und$\ket{2}$wird die Energie haben$E_0$, das ist nur die Energie eines Wasserstoffatoms plus eines Protons. Wir können die Hamilton-Matrix-Elemente nehmen$H_{11}$Und$H_{22}$sind beide ungefähr gleich$E_0.$Die anderen Matrixelemente$H_{12}$Und$H_{21}$, das sind die Amplituden, mit denen das Elektron hin und her geht, schreiben wir wieder als$−A$.

Ich verstehe das nicht;$H_{12}$&$H_{21}$sind die zeitlichen Ableitungen von$U_{12}\;\&\;U_{21}$bzw. Wie können sie die Amplitude sein , von der aus sie gehen sollen$\ket 1$Zu$\ket 2$? Immerhin ist es mit dem Kronecker Delta verwandt$\delta{ij}$oder wenn unter Zeitentwicklung, dann verwandt mit$U_{ij}$.$U_{ij}$sollten die Amplituden für das Elektron sein, um hin und her zu gehen, das ist die Amplitude, von der das Wasserstoffion gehen soll$\ket 1$Zu$\ket 2$oder umgekehrt. Also, warum hat Feynman geschrieben$H_{ij}$als die Amplitude statt$U_{ij}$schließlich,$H_{ij}$ist die zeitliche Ableitung von$U_{ij}$& keine Amplitude, von der ausgegangen werden kann$\ket 1$Zu$\ket 2$??