Äquivalente Darstellungen stationärer Zustände in der Quantenmechanik

Question

Äquivalente Darstellungen stationärer Zustände in der Quantenmechanik

Energie
Physik
Betreiber
hamiltonisch
Zeitentwicklung
Quantenmechanik

Benutzer100411

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist gegeben als

ich ℏ \frac{D}{D T} | ψ (T) ⟩ = \hat{H} | ψ (T) ⟩ .

$i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}| \psi(t) \rangle = \hat{H} | \psi(t) \rangle.$ Um herauszufinden, wie sich die Zustände mit der Zeit entwickeln, wollen wir den linearen Operator finden

\hat{U} (t, t_{0})

$\hat{U}(t,t_0)$ so dass

| ψ (T) ⟩ = \hat{U} (T, T_{0}) | ψ (T_{0}) ⟩ .

$| \psi(t) \rangle = \hat{U}(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle.$ Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt

\frac{\partial \hat{U} (T, T_{0})}{\partial T} = - \frac{ich}{ℏ} \hat{H} \hat{U} (T, T_{0})

$\frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{ \partial t} = - \frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}(t,t_0)$ Dies führt zu

\hat{U} (T, T_{0}) = e^{\frac{- ich (T - T_{0}) \hat{H}}{ℏ}}

$\hat{U}(t,t_0) = e^{\frac{-i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}$ somit

| ψ (T) ⟩ = e^{- \frac{ich (T - T_{0}) \hat{H}}{ℏ}} | ψ (T_{0}) ⟩

$| \psi(t) \rangle = e^{-\frac{i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}|\psi(t_0) \rangle$ Wo

e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^{n}}{n!} {\hat{A}}^{n} = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^{2}}{2!} {\hat{A}}^{2} + \frac{a^{3}}{3!} {\hat{A}}^{3} + . . .

$e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^n}{n !}\hat{A}^n = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^2}{2 !} \hat{A}^2 + \frac{a^3}{3 !}\hat{A}^3 +...$

Frage:
Angesichts der Erweiterung der Betreiberserie $e^{a \hat{A}}$ oben, wie folgt daraus, wenn wir einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator betrachten $\hat{H_0}$ wo Lösungen- die Eigenwerte $E_n$ und Eigenzustände $| \psi_n \rangle$ (stationäre Zustände)- werden äquivalent als angegeben

e^{\frac{- ich T \hat{H_{0}}}{ℏ}} | ψ_{N} ⟩ = e^{- \frac{ich E_{N} T}{ℏ}} | ψ_{N} ⟩ ?

$e^{\frac{-it \hat{H_0}}{\hbar}}| \psi_n \rangle = e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} | \psi_n \rangle?$

Danke.

ZeroTheHero

Vermutlich fehlt a

\partial_{t}

$\partial_t$ im ersten semester...

ZeroTheHero

Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. Sie scheinen die Arbeit bereits erledigt zu haben: Wenn Sie die Reihe nehmen und annehmen, dass der Zustand ein Eigenzustand von ist

\hat{A}

$\hat A$ mit Eigenwert

λ

$\lambda$ , Dann

\hat{A} \to λ

$\hat A\to \lambda$ überall in Reihe, was dann eben die Reihe für die Exponentialfunktion ist.

Antworten (1)

Äquivalente Darstellungen stationärer Zustände in der Quantenmechanik

Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. Sie scheinen die Arbeit bereits erledigt zu haben: Wenn Sie die Reihe nehmen und annehmen, dass der Zustand ein Eigenzustand von ist $\hat A$ mit Eigenwert $\lambda$ , Dann $\hat A\to \lambda$ überall in Reihe, was dann eben die Reihe für die Exponentialfunktion ist.

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Wenn $A$ ist ein beliebiger Operator mit Eigenbasis

\begin{matrix} (1) & A | A ⟩ = A | A ⟩ \end{matrix}

$A|a\rangle=a|a\rangle\tag{1}$ dann der Betreiber

f (A)

$f(A)$ wird durch definiert

\begin{matrix} (2) & F (A) | A ⟩ = F (A) | A ⟩ \end{matrix}

$f(A)|a\rangle=f(a)|a\rangle\tag{2}$

Wenn die Funktion $f$ ist analytisch,

\begin{matrix} (3) & F (X) = \sum_{N} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} X^{N} \end{matrix}

$f(x)=\sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\tag{3}$ dann kannst du auch definieren

\begin{matrix} (4) & F (A) \equiv \sum_{N} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} A^{N} \end{matrix}

$f(A)\equiv \sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}A^n\tag{4}$ und, sofern die Summe konvergiert, stimmt sie mit überein

(2)

$(2)$ , wie aus folgt

A^{n} | a ⟩ = a^{n} | a ⟩

$A^n|a\rangle=a^n|a\rangle$ (Hier muss man davon ausgehen, dass die Taylorreihe von

f

$f$ konvergiert für alle

x

$x$ im Spektrum von

A

$A$ ).

In Ihrem speziellen Fall $A=H$ , $f=\exp$ , Und $|a\rangle=|\psi_n\rangle$ , was bedeutet, dass

\begin{matrix} (5) & e^{ich H T} | ψ_{N} ⟩ = e^{- ich E_{N} T} | ψ_{N} ⟩ \end{matrix}

$\mathrm e^{iHt}|\psi_n\rangle=\mathrm e^{-iE_nt}|\psi_n\rangle \tag{5}$ gilt per definitionem (vgl.

(2)

$(2)$ ).

Danke für deine Antwort. Könnten Sie den Grund dafür erläutern (oder auf ein Ergebnis verweisen). $F (A) = \sum_{N} \frac{F^{(N)} (0)}{N!} A^{N} ⟹ F (A) | A ⟩ = F (A) | A ⟩$ $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n \implies f(A)| a \rangle = f(a)|a \rangle$ wenn wir davon ausgehen $f$ konvergiert für alle Eigenwerte von $\hat{A}$ . Folgt es aus einem Ergebnis im Funktionskalkül?
@JohnDoe gut, wenn du nimmst $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n$ und wirken auf beiden Seiten mit $|a\rangle$ , du erhältst $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n|a\rangle$ . Wenn du benutzt $A^n|a\rangle= a^n|a\rangle$ , das wird $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n|a\rangle$ . Schließlich, wenn Sie ausrechnen $|a\rangle$ auf der rechten Seite erhalten Sie $f(A)|a\rangle = \left[\sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n\right]|a\rangle=f(a)|a\rangle$ , nach Bedarf.
Okay, ich verstehe, also ist die einzige eigentliche Funktionsrechnung wirklich das Definieren $f(A)$ aus der Definition von $f(x)$ ?

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Benutzer100411

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